计算分数和的公共分子的最有效算法答案

【问题标题】：Most efficient algorithm to compute a common numerator of a sum of fractions计算分数和的公共分子的最有效算法
【发布时间】：2011-07-27 07:41:40
【问题描述】：

我很确定这是解决这个问题的正确网站，但如果它更适合那里，请随意将其移至其他一些 stackexchange 网站。

假设您有一个分数之和a1/d1 + a2/d2 + … + an/dn。您想计算一个共同的分子和分母，即将其重写为p/q。我们有公式

p = a1*d2*…*dn + d1*a2*d3*…*dn + … + d1*d2*…d(n-1)*an
q = d1*d2*…*dn.

计算这些东西最有效的方法是什么，尤其是p？你可以看到，如果你天真地计算它，即使用我上面给出的公式，你会计算出很多冗余的东西。例如，您将计算 d1*d2 n-1 次。

我的第一个想法是迭代计算d1*d2、d1*d2*d3、...和dn*d(n-1)、dn*d(n-1)*d(n-2)，...但即使这样也是低效的，因为您最终会在“中间”计算两次乘法（例如, 如果n 足够大，您将计算d3*d4 两次）。

我确信这个问题可以用一些图论或组合学以某种方式表达，但我还没有研究足够多的东西来对它有一个很好的感觉。

还有一点：我不关心取消，只是最有效的乘法方式。

更新：

我应该知道 stackoverflow 上的人会假设这些是数字，但我已经习惯了我的用例，所以我忘了提及这一点。

我们不能仅仅从每个术语中“划分”出an。这里的用例是一个符号系统。实际上，我正在尝试在 SymPy computer algebra system 中修复一个名为 .as_numer_denom() 的函数，该函数目前以幼稚的方式计算。请参阅corresponding SymPy issue。

划分事物有一些问题，我想避免这些问题。首先，不能保证事情会取消。这是因为从数学上讲，(a*b)**n != a**n*b**n 通常是（如果a 和b 是正数，则它成立，但例如，如果a == b ==-1 和n == 1/2，你会得到(a*b)**n == 1**(1/2) == 1 但(-1)**(1/2)*(-1)**(1/2) == I*I == -1）。所以我不认为假设除以an 会在表达式中取消它是一个好主意（这实际上可能是没有根据的，我需要检查代码的作用）。

其次，我还想应用这个算法来计算有理函数的总和。在这种情况下，这些项将自动相乘成一个多项式，并且“除”每个an 将涉及应用多项式除法算法。您可以看到，在这种情况下，您确实希望首先计算最有效的乘法。

更新 2：

我认为我对取消象征性术语的担忧可能是没有根据的。 SymPy 不会自动取消像 x**n*x**(m - n) 这样的东西，但我认为任何可以通过乘法组合的指数也可以通过除法组合，所以应该取消幂。

常量自动分布在添加中存在问题，例如：

In [13]: 2*(x + y)*z*(S(1)/2)
Out[13]: 
z⋅(2⋅x + 2⋅y)
─────────────
      2

但这首先是bug，其次永远不会是问题（我认为），因为1/2 将通过获取每个术语的分子和分母的算法分成1 和2。

尽管如此，我仍然想知道如何在不从每个术语中“划分”di 的情况下做到这一点，以便我可以有一个有效的算法来求和有理函数。

【问题讨论】：

a*b 在各种数字系统中与b*a 不同。但是你必须明确地说在这样的系统中工作，否则每个人都认为你在谈论整数。对于(-1)**(1/2)*(-1)**(1/2) == I*I == -1 部分，您必须先阅读一些有关代数和多值“函数”的内容，然后再开始说这些内容。
这与交换性无关。但你确实无意中提出了一个好观点。该算法必须与非交换符号一起使用（在这种情况下，只是分开肯定行不通）
实际上，我认为这对非交换式甚至没有意义。
当你说事物不取消时，你的意思是象征性地，a1*d2*d3*...*dn 不等于 (a1/d1)*d1*d2*d3 *...*dn？如果是这种情况，那么您需要非常明确地描述符号系统的所有规则。你至少有联想吗？而且，如前所述，交换性呢？在这种情况下，“分裂”究竟代表什么？我有点不清楚在这种除法的情况下，您的取幂示例与“取消”有什么关系。
另外，这至少在一个非交换上下文中是有意义的。让 a_i 和 d_i 成为矩阵，其中 a_i/d_i 被理解为 a_i 乘以 d_i 的倒数（当然，我们需要 d_i 是可逆的）。然后，一切仍然有意义。这种情况强调需要明确哪些代数规则是有效的，因为这种情况使 templatetypedef 的答案不适用，但 starblue 的答案仍然可以。

标签： algorithm math

【解决方案1】：

我不会一次性将n 商加起来，而是使用商的成对加法。

如果事物在部分和中被抵消，则数字或多项式会保持较小，这会加快计算速度。
您避免了多次计算同一个产品的问题。

您可以尝试以某种方式对加法进行排序，以增加取消的可能性（也许先添加小分母的商？），但我不知道这是否值得。

如果你从头开始，这实现起来会更简单，但我不确定它是否适合替代 SymPy 中有问题的例程。

编辑：为了更明确，我建议将a1/d1 + a2/d2 + … + an/dn 计算为(…(a1/d1 + a2/d2) + … ) + an/dn。

【讨论】：

也许我误解了你的答案，但我不认为加法是这里真正的问题，而是乘法，即重复乘法。最后的添加是由Add(*numers) 完成的，这在 SymPy 中非常有效。对于多项式，你也可以做一些其他的事情（我真的没想那么多）。
重点是每次相加两个商时都要分段进行乘法运算。
对不起。可能是因为这里很晚了（我应该睡一会），但我不明白你在说什么。能举个小例子吗？
我想我明白你现在在说什么了。我需要在纸上解决这个问题，看看它是否真的有效。
我会等到我睡了（可能是个好主意），但我想你可能已经找到了答案。很新奇。我从来没有想过它。

【解决方案2】：

计算两个新数组：

第一个包含左侧的部分倍数：l[0] = 1, l[i] = l[i-1] * d[i]

第二个包含右侧的部分倍数：r[n-1] = 1, r[i] = d[i] * r[i+1]

在这两种情况下，1 是您正在使用的任何环的乘法标识。

然后你的每一个词在顶部，t[i] = l[i-1] * a[i] * r[i+1]

这假设乘法是结合的，但它不需要是可交换的。

作为第一个优化，您实际上不必将r 创建为一个数组：您可以执行第一次通过计算所有l 值，并在一秒钟内累积r 值（向后) 通过计算和。无需实际存储 r 值，因为您按顺序使用每个值一次。

在您的问题中，您说这会计算 d3*d4 两次，但事实并非如此。它确实将两个不同的值乘以d4（一个是右乘，另一个是左乘），但这并不完全是重复操作。无论如何，乘法的总数约为4*n，而2*n 乘法和n 除法在非交换乘法或非域环中不起作用。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果你想在上面的表达式中计算p，一种方法是将所有分母相乘（在 O(n) 中，其中 n 是分数的数量），让这个值D。然后，遍历所有分数，对于每个分数，分子为 a_i，分母为 d_i，计算 a_i * D / d我。最后一项等于分数的分子和除它自己以外的所有分母的乘积。这些项中的每一项都可以在 O(1) 时间内计算出来（假设您使用的是硬件乘法，否则可能需要更长的时间），并且您可以在 O(n) 时间内将它们全部相加。

这给出了一个 O(n) 时间的算法来计算新分数的分子和分母。

【讨论】：

似乎太明显了。从来没有真正对基准测试感兴趣，但是除法不是比乘法贵很多吗？我认为他特别要求乘法策略可能是有原因的。
@bdares- 我不确定这段代码的绝对性能，但根据 OP 的问题，他似乎没有考虑过（他似乎试图从双方，效率要低得多）。在不知道乘法与除法的相对权衡的情况下，很难设计出运行速度更快的算法。你知道这个数字吗？
这可能适用于较小的n 值。如果 n 足够大，比如 1M+，并且所有分数都有小分母，它会增长到一个巨大的（但不需要）D。
@templatetypedef 不，完全没有
好的，我忘了排除这个选项。我将在 OP 中添加一些内容来解释原因。

【解决方案4】：

还有人向我指出，您可以手动筛选出公分母，然后将它们简单地组合起来而无需乘法。

【讨论】：