计算积分的有效方法？答案

【问题标题】：Efficient way for calculating integrals?计算积分的有效方法？
【发布时间】：2018-05-17 15:38:55
【问题描述】：

我知道如何使用 Monte-Carlo 来计算积分，但我想知道是否可以使用梯形规则结合 numpy 来提高效率以获得相同的积分，我不确定哪个最快或后者可能吗？

例如整合e**-x**2 > y 我可以像这样使用蒙特卡罗方法：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.random.rand(500000,2)
X[:,0] = X[:,0]*4-2
J = np.where(X[:,1] < np.exp(-X[:,0]**2))[0]
Xp = X[:2000]
Ip = [i for i in range(len(Xp)) if i in J]
Inp = [i for i in range(len(Xp)) if i not in J]
plt.plot(Xp[Ip,0],Xp[Ip,1], 'bd', Xp[Inp,0],Xp[Inp,1], 'rd')
plt.show()

这可以很容易地计算出来：

print len(J) / 500000.0 * 4

这给出了：

1.767784

在这种情况下，这很容易，但是如果没有像[a,b] , n 那样指定间隔，并且我想创建一个函数，那么我认为上面的方法并不是很有效，至少我是这么认为的。

所以，我的问题是，我能否在具有梯形规则的函数中集成一个连续函数，例如cos(x)/x，并在一个确定的区间内，如[a,b]？

它比我这里使用的方法更好吗？

欢迎任何建议。

【问题讨论】：

嗯，不，使用 Monte-Carlo 将一维、有界、无限可微函数与快速衰减的导数集成确实是一个非常的坏主意。但是你从哪里得到梯形规则也不是完全垃圾的想法？数值积分有很多更好的方法。 scipy.integrate 怎么了？
@AndreyTyukin 我还是个编程初学者，其他方法我发现使用了太多新命令来理解，所以我从最简单的atm开始，但是如果你推荐任何一种方法我是听。
“非常初学者”是相对的......普通的“初学者”能够实现用于计算积分的蒙特卡罗方法并不明显。它也不是特定于编程的。

标签： python python-2.7 numpy integral

【解决方案1】：

只需使用scipy.integrate.quad:

from scipy import integrate
from np import inf
from math import exp, sqrt, pi

res, errEstimate = integrate.quad(lambda x: exp(-x**2), -inf, +inf)

print(res)       #output: 1.7724538509055159
print(sqrt(pi))  #output: 1.7724538509055159

最后一行只是检查计算的积分确实是 Pi 的平方根（它是 Gaussian integral）。

【讨论】：

【解决方案2】：

您也可以使用黎曼近似。下面的代码是Java

package math;

import java.util.Optional;
import java.util.function.*;
import java.util.stream.IntStream;
import static java.lang.Math.*;

public class IntegralJava8
{
    public interface Riemann extends BiFunction<Function<Double, Double>, Integer, 
    BinaryOperator<Double>> { }

    public static void main(String args[])
    {
        int N=100000;
        Riemann s = (f, n) -> (a, b) -> 
        IntStream.range(0, n)
        .mapToDouble(i -> f.apply(a + i * ((b - a) / n)) * ((b - a) / n)).sum();
        Optional<Double> gaussIntegral = 
            Optional.of(s.apply(x -> exp(-pow(x, 2)), N).apply(-1000.0, 1000.0));
        gaussIntegral.ifPresent(System.out::println);
    }
}

在上面的类中，它将计算从-infinity到infinity的高斯积分，等于PI的平方根（1.772）

【讨论】：