算法证明答案

【问题标题】：Algorithm Proofs算法证明
【发布时间】：2016-01-19 02:31:24
【问题描述】：

在这种情况下，f(n)、g(n) 和 h(n) 是渐近正函数，这意味着存在一个满足 f(n)/g(n)/h(n) 的 N > 0，对于所有 n >= N。鉴于：

f(n) = Θ(g(n))
g(n) = Θ(h(n))

我需要证明

f(n=Θ(h(n))).

建议使用 Θ 的正式定义，即如果 f(n) = Θ (g(n)) 表示存在正常数 c1、c2 和 k，使得 0 ≤ c1g(n)对于所有 n ≥ k，≤ f(n) ≤ c2g(n)。对于函数 f，c1、c2 和 k 的值必须是固定的，并且不能依赖于 n。我发现了与此类似的示例，但仍不确定如何解决此问题。谁能指出我正确的方向？

编辑：我目前的猜测是尝试使用传递属性，它表明如果 a=b 和 b=c 则 a=c。我不确定这是否完全正确，但这是我目前最好的猜测。 f(n=Θ(h(n))) 的语法最让我困惑。我不完全确定如何解释它。

【问题讨论】：

正如我之前提到的，我不确定从哪里开始。我不是在寻找一个完整的解决方案，只是朝着正确的方向迈出一步。
f(n=Θ(h(n))) 似乎是一个错字（在作业中？）。我怀疑那是f(n) = Θ(h(n))。

标签： algorithm proof big-theta

【解决方案1】：

假设 f(n=Θ(h(n))) 与 f(n) = O(h(n)) 相同，则使用 Big 0 定义，即：

f = O(g) iff exist c, n0 > 0 such that forall n >= n0 then 0 <= f(n) <= cg(n)
g = O(h) iff exist k, n1 > 0 such that forall n >= n1 then 0 <= g(n) <= kh(n)

那么我可以将最后一个不等式除以

c: 0 <= f(n)/c <= g(n)

并将 g(n) 替换为

0 <= f(n)/c <= kh(n)

然后将所有乘以c，得到我们

0 <= f(n) <= kch(n)

等价于 f=O(h)。所以

f = O(h) iff exist j, n2 > 0 such that forall n >= n2 then 0 <= f(n) <= jh(n)

【讨论】：

Theta 是一个紧界，而不仅仅是一个上限。即f = O(g) iff exist c1, c2, n0 > 0 such that forall n >= n0 then c1 g(n) <= f(n) <= c2 g(n)。