用对数证明算法答案

【问题标题】：Proving Algorithms with Logarithms用对数证明算法
【发布时间】：2014-01-18 05:13:06
【问题描述】：

我知道如何证明算法，但我不确定如何证明指数和对数：

例如： Given f(n) = 1.05^n and g(n) = n^2, determine if f(n)=O(g(n))

例如：Given f(n) = (log-base4 of n) and g(n) = (log-base2 of n), determine if f(n)=bigTheta(g(n))

例如：Given f(n) = 4^n, and g(n) = 2^n, determine if f(n)=O(g(n)).

我不是在寻找解决方案（不过我不介意一个详细的示例），而是对如何解决这类问题的解释。我上面提到的那些是我遇到的一些不同的，我很困惑。

【问题讨论】：

我发现大多数此类问题都可以通过归纳来解决，您可以在其中证明一个微不足道的情况（n = 1）；假设所有 n 到 x 都为真；然后通过重新排列术语来证明 x+1，以便得到 n 案例和基本案例。
我正在寻找另一种更直接的证明方式。（如求解c1、c2、n0）

【解决方案1】：

渐近地，n! >> aⁿ >> nᵃ >> nlogn >> n >> logn >> a（常数）。
因此，如果 f=1.5ⁿ=aⁿ 和 g=n²=nᵃ，您可以看到 f >> g 对于足够大的 n 值。
所以，g=O(f) 和 f=Ω(g)，渐近。

同样，f=log₂n >> g=log₄n，所以 f=Ω(g)。

还有 4ⁿ >> 2ⁿ。因此，如果 f=4ⁿ 且 g=2ⁿ，则 f=Ω(g)。

【讨论】：