证明 Big-O 和规则？

Question

我不确定如何正式证明总和的大 O 规则，即：

f1(n) + f2(n) is O(max(g1(n)),g2(n))

到目前为止，我在努力中假设了以下几点：

让有两个常量c1 和c2 使得c2 > c1。按大 O 定义：

f1(n) <= c1g1(n) and f2(n) <= c2g2(n)

我应该如何进行？在这一步引入变量的数值替换来证明关系是否合理？不知道g 或f，这是我能想到的唯一方法。

Answer 1

让

gmax = max(g1, g2), and gmin = min(g1, g2). 

gmin 是 O(gmax)。现在，使用定义：

gmin(n) <= c*gmax(n) for n > some k

在每一边加上 gmax(n) 得到：

gmin(n) + gmax(n) <= c*gmax(n) + gmax(n) for n > some k
gmin(n) + gmax(n) <= (c+1)*gmax(n)       for n > some k
g1(n) + g2(n) <= c'*gmax(n)              for n > some k

所以我们有 g1+g2 是 O(max(g1, g2))。

因为 f1+f2 是 O(g1+g2)，所以 big-O 的传递性给我们 f1+f2 是 O(max(g1, g2))。 QED。

Answer 2

我想我可能更像是一个建构主义者，我会这样解决问题：

根据Big-O的定义，存在正c₁、c₂、N₁、N₂ 这样

f₁(n) 1g₁(n) 对于所有 n > N₁

和

f₂(n) 2g₂(n) 对于所有 n > N₂

让：

N' = max(N₁,N₂)
c' = c₁ + c₂
g'(n) = max(g₁(n),g ₂(n))

那么对于所有 n > N' 我们有：

f₁(n) 1g₁(n) 1g '(n)
f₂(n) 2g₂(n) 2g'(n )
f₁(n) + f₂(n) 1g'(n) + c₂g'(n) = c'g'(n)

因此，f₁(n) + f₂(n) 为 O(g'(n)) = O(max(g_1(n),g2(n)))

Answer 3

您甚至不需要定义 - 只需将两边除以增长较快的函数，取无穷大的极限，增长较慢的函数将接近零（即不显着）。