涉及对数总和的 Big-O 证明答案

【问题标题】：Big-O proof involving a sum of logs涉及对数总和的 Big-O 证明
【发布时间】：2015-03-06 15:24:01
【问题描述】：

证明

我将系列放入求和中，但我不知道如何解决这个问题。任何帮助表示赞赏

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这里有两个有用的数学事实可以提供帮助。首先，请注意对于任何 x，⌈x⌉ ≤ x + 1。因此，

从 i = 1 到 n 的总和 (⌈log (n/i)⌉) ≤ (从 i = 1 到 n log (n / i) 的总和) + n

因此，如果我们可以证明第二次求和是 O(n)，我们就完成了。

利用日志的属性，我们可以重写

log(n/1) + log(n/2) + ... + log(n/n)

= log(nⁿ / n!)

让我们看看我们是否可以简化这一点。使用对数的性质，我们得到了

log(nⁿ / n!) = log(nⁿ) - log(n!)

= n log n - log (n!)

现在，我们可以使用斯特林的近似值，它表示

log (n!) = n log n - n + O(log n)

因此：

n log n - log (n!)

= n log n - n log n + n - O(log n)

= O(n)

所以总和是 O(n)，根据需要。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

【解决方案2】：

通常我们知道：

因此：

【讨论】：

我可能是错的，但我不认为最初的总和是正确的。结果是 log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n = log (n!) = Theta(n log n)。我弄错了吗？
@templatetypedef，我说的是 theta，我说的是大 O！
另外，log2 (n-1) 怎么是常数？
@templatetypedef，i 是变量，n 是上限，它是一个常量。我可能错了，但请用数学承认它！