梳排序是否被证明是正确的？是真的吗？答案

【问题标题】：Has Comb Sort been proven correct? Can it be?梳排序是否被证明是正确的？是真的吗？
【发布时间】：2012-10-02 15:03:00
【问题描述】：

我一直在对梳状排序进行一些研究，并试图弄清楚该算法是否已被证明是正确的。但是，我似乎无法找到有关该算法的大量文档。不过，这是一个非常简单的算法——基本上是冒泡排序的一种变体——我猜这个证明并不复杂。有没有人知道我在哪里可以找到更多关于这方面的信息，或者关于如何从头开始证明它的想法？

不熟悉Comb Sort的朋友可以在Wikipedia article找到伪代码。

【问题讨论】：

什么意思，证明正确？
gap==1 时的最后一遍相当于冒泡排序。如果冒泡排序是正确的，那么梳状排序也是正确的。
啊，好点。所以我想你要做的就是证明循环中的gap变量最终达到1。
@Blastfurnace 但是冒泡排序需要 O(n^2) 进行排序，仅仅因为一次通过类似于冒泡排序的一次通过，并不意味着整个算法是正确的。
@PrathikRajendranM 也许我应该说“舞台”而不是“通过”。事实上，当gap 变为 1 时，梳排序就等同于冒泡排序。

标签： algorithm sorting proof correctness

【解决方案1】：

让我们使用来自Wikipedia的伪代码：

function combsort(array input) is
    gap := input.size
    shrink := 1.3
    sorted := false

    loop while sorted = false
        gap := floor(gap / shrink)
        if gap ≤ 1 then
            gap := 1
            sorted := true
        end if

        i := 0
        loop while i + gap < input.size
            if input[i] > input[i+gap] then
                swap(input[i], input[i+gap])
                sorted := false
            end if

            i := i + 1
         end loop
     end loop
end function

主循环是while sorted = false，并且没有break 语句提前停止循环，这对证明非常有帮助：如果这个循环曾经终止，那么一定是sorted = true。所以真的，我们只需要展示两件事：首先，循环确实终止了，其次，如果 sorted = true 在循环结束时，那么数组实际上是排序的。

循环终止，因为每次在迭代结束时sorted 仍然是false，要么gap 变小，要么gap 保持不变并且数组中inversions 的数量变小. gap 和反转数都是整数，分别以 1 和 0 为界，因此它们不能无限变小。
- 如果 gap 为 2 或更多，则在该迭代中它会变小（注意 floor 函数）。
- 如果gap 为1，则它保持为1，并且sorted 在内部循环之前设置为true。 sorted 只能通过将input[i] 和input[i+1] 交换为i 来设置回false，其中input[i] > input[i+1]。这样的交换将数组中的反转次数减少了 1。内部循环在任何其他情况下都不执行交换，因此在 gap = 1 时没有交换可以增加反转次数。
如果sorted = true在循环结束，我们知道gap = 1，因为否则sorted不能设置为true。然后我们还知道每个input[i] <= input[i+1]，因为如果某些i 不是这样，那么sorted 将被设置为false。因此，sorted 只有在循环结束时数组中的每一对相邻元素都是有序的，即数组已排序时才为真。

【讨论】：