这是对证明某事物是 NP Complete 的正确理解吗？

Question

据我了解，有两个步骤可以证明问题是 NP 完全的：

1. 给出一个算法，可以在多项式时间内验证问题的解决方案。也就是说，一种算法，其输入是对问题提出的解决方案，其输出是“是”或“否”，这取决于输入是否是问题的有效解决方案。

2. 证明问题是 NP 难题 - 例如，假设您有一个预言机，可以一步计算另一个已知的 NP 完全问题。使用它，编写一个在多项式时间内解决此问题的算法。

例如，假设我们要证明以下问题是NP完全的：

给定一组整数S，是否有可能隔离元素子集S'，使得S' 中的元素之和正好等于@ 中剩余元素之和987654324@ 不包含在S' 中？

第一步：验证算法

Verify_HalfSubset(Set S, Solution sol):
    accum = 0
    for each element i in sol:
        accum+=i
        linear search for an element with the same value as i in S.
        if found, delete it from s, if not found, return false
    end for
    accum2 = 0
    for each element i in S:
        accum2+=i
    end for
    if accum==accum2 return true, else return false

显然这在多项式时间内运行：第一个 for 循环在 O(nm) 中运行，第二个在 O(n) 中运行。

第 2 步：减少

假设我们有一个 oracle O(Set S, int I) 可以一步计算子集和问题（也就是说，S 中是否有元素的子集总和为 I）？

然后，我们可以编写一个多项式时间算法来计算我们的半子集问题：

HalfSubset(Set S):
    accum = 0
    for each s in S:
        accum+=S
    end for
    if(accum%2==1) 
    // this question forbids "splitting" values to non-integral parts
        return NO_ANSWER
    end if
    half1 = O(S, accum/2)
    if(half1 == NO_ANSWER)
        return NO_ANSWER
    end if
    for each i in half1:
        linear search for an element with the same value as half1[i] in S
        delete it from S.
    end for
    half2 = S
    return (half1 and half2)

如果我在这个过程中犯了任何错误，谁能告诉我？这是我期末考试复习中的一个问题，我不确定我是否完全理解。

Answer 1

你答案的第二部分有点不对劲。您在第二步中所说的是，您可以在多项式时间内将此问题简化为已知的 NP 完全问题。也就是说，您是说这个问题最多与 NP 完全问题一样难。

您想说的是，NP 完全问题可以在多项式时间内简化为您的示例问题。这表明，如果您可以在多项式时间内解决此问题，那么您也可以在多项式时间内解决 NP 完全问题，证明您的示例问题是 NP 完全的。

Answer 2

不，这是不正确的。您可以设置一种情况，使用 NP-Complete oracle 来解决问题，但问题本身仍然存在于 P 中。

你要做的是证明你可以将另一个 NP-Complete 问题简化为你的问题。也就是说，提供一个多项式时间算法来将特定 NP-Complete 问题的任何实例转换为您的问题的一个实例，这样您的（转换后的）问题的解决方案也是给定 NP-Complete 问题的解决方案。这表明如果你能解决你的问题，那么你也可以解决任何 NP-Complete 问题，这意味着你的问题至少与任何其他 NP-Complete 问题一样难。