如何在 MATLAB 中执行此函数的无限积分？

Question

如图所示，我需要执行以下操作。我需要使用 MATLAB 计算不同输入（x）的函数 H 的值。

我从 Symbolic Math Toolbox 给出以下命令

syms y t x;
f1=(1-exp(-y))/y;
f2=-t+3*int(f1,[0,t]);
f3=exp(f2);
H=int(f3,[0,x]);

但无法计算第二个积分的值，即函数 H 中的积分，我的输出格式为

H =

int(exp(3*eulergamma - t - 3*ei(-t) + 3*log(t)), t, 0, x)

如果你们中的任何人知道如何评估这个或对此有不同的想法，请与我分享。

Answer 1

使用integral直接求数值解：

由于您要针对x的不同值计算H，因此可以使用数值解代替解析解。

代码：

syms y t;
f1=(1-exp(-y))/y;   f2=-t+3*int(f1,[0,t]);  f3=exp(f2);
H=integral(matlabFunction(f3),0,100)   % Result of integration when x=100 

输出：

H =
   37.9044

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使用 Monte-Carlo 积分找到近似解析解：

它可能是一个“Elliptic Integral”，不能用elementary functions 表示。但是，您可以使用“Monte-Carlo Integration”找到近似解析解：

其中 f(c) = ¹/_n Σ f(xᵢ)

代码：

syms x y t;

f1=(1-exp(-y))/y;   f2=-t+3*int(f1,[0,t]);  f3=exp(f2);
f3a= matlabFunction(f3);       % Converting to function handle

n = 1000;      
t = x*rand(n,1);               % Generating random numbers within the limits (0,x)
MCint(x) = x * mean(f3a(t));   % Integration
H= double(MCint(100))          % Result of integration when x=100  

输出：

H =
   35.2900

% Output will be different each time you execute it since it is based
% on generation of random numbers

这种方法的缺点：

1. 解决方案并不精确，而是近似的。
2. n 的值越大，结果越好，代码执行速度越慢。

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^{阅读matlabFunction、integral、Random Numbers Within a Specific Range、mean和double的文档以进一步了解代码。}