我如何从 SICP 调用方案编号函数

Question

在 SICP 中，（ex 2.6）以下功能被描述为“无数字生活”的方式。我正在努力理解这一点。作为起点，如何调用这些函数？我真的可以以某种方式应用它们，输出为 1 吗？ （或任何其他数字？）

(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))

(define (add-1 n)
  (lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

我最初的尝试没有成功：

Welcome to DrScheme, version 4.1.5 [3m].
Language: Simply Scheme; memory limit: 128 megabytes.
> (add-1 (zero))
. . procedure zero: expects 1 argument, given 0
> (add-1 zero)
#<procedure>
> (add-1 1)
#<procedure>
> ((add-1 1))
. . #<procedure>: expects 1 argument, given 0
> 

Answer 1

这些表示数字的函数称为教会数字（如 SICP 所述）。它们的存在意味着您可以定义一个计算系统（例如 lambda 演算），而无需将数字作为一等对象——您可以将函数用作原始对象。这个事实主要是理论上的兴趣；教会数字不是实际计算的好选择。

您可以通过将 Church 数字与其他对象一起应用作为参数来查看您对 Church 数字的定义的正确性。当您将表示 n 的 Church 数字应用于函数 f 时，您会得到另一个函数，它将 f 应用于其参数 n 次，例如 f(f(f(x))) for n=3。

> (define (double x) (* 2 x))
> (zero double)
#<procedure>
> ((zero double) 1)
1
> ((zero double) 100)
100
> (define one (add-1 zero))
> ((one double) 1)
2
> ((one double) 100)
200
> (define (cons-a x) (cons 'a x))
> ((zero cons-a) '())
()
> (((add-1 one) cons-a) '(1 2 3))
(a a 1 2 3)

Answer 2

这是原始的 lambda 演算，它不产生数字，它完全用函数代替了数字类型。

所以，你有一个“零”函数，如果你给它打电话add-1，你不会得到1，你会得到另一个代表1的函数。关键是产生的函数符合基本算术公理，所以它们等价于自然数

Answer 3

(define (as-primitive-num church-num)
    (define (inc a) (+ a 1))
    ((church-num inc) 0))

;testing:
(define one (add-1 zero))
(define two (add-1 one))

(display (as-primitive-num one)) (newline)
(display (as-primitive-num two)) (newline)

和输出：

1 2