如何在R中进行高维整合

Question

我正在尝试集成一个高维集成： ∫∏pj(1-pj)f(pj)dpj,其中 j∈1,...,5。 f(pj)是pj的分布函数，pj~beta(0.3,0.7) 有这种集成的 R 包吗？

Answer 1

被积函数是“可分离的”：它是p1的一个函数的乘积，一个函数 p2，...，p5 的函数。

此外，积分的界限是恒定的。因此多重​​积分 乘积的乘积等于单积分的乘积：

int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 product( pi(1-pi)f(pi) ) dp1 dp2 dp3 dp4 dp5
 = product ( int_0^1 p(1-p)f(p) dp )

因此，您可以计算单个积分int_0^1 p(1-p)f(p) dp 并提高 5 次幂。

然而，虽然这在数学上是正确的，但这会“累积” 数值积分。 然后，在数值上，最好使用多维积分。为此， 使用cubature 包。

但请注意，您以“封闭形式”计算此积分。事实上，f 是 带有参数a 和b 的Beta 分布的pdf。一个有 f(p) = g_{a,b}(p) / beta(a,b) 和 int_0^1 g_{a,b}(p) dp = beta(a,b)。 很容易看出p(1-p)g_{a,b}(p) = g_{a+1,b+1}(p)。 因此，

int_0^1 p(1-p)f(p) dp = 1/beta(a,b) int_0^1 g_{a+1,b+1}(p) dp 
 = beta(a+1,b+1) / beta(a,b)

因此你的积分结果是(beta(a+1,b+1)/beta(a,b))^5。这可以简化：beta(a+1,b+1)/beta(a,b) = (ab)/((a+b)*(a+b+1))。