求解包含和的非线性系统答案

【问题标题】：Solving non linear system containing a sum求解包含和的非线性系统
【发布时间】：2016-09-19 19:55:50
【问题描述】：

我有几个来自 sympy.lambdify 的函数：

f_1 = sym.lambdify((z, m_1, m_2, s_1, s_2), expression_1, modules=['numpy', 'sympy'])
f_2 = sym.lambdify((z, m_1, m_2, s_1, s_2), expression_2, modules=['numpy', 'sympy'])
f_3 = sym.lambdify((z, m_1, m_2, s_1, s_2), expression_3, modules=['numpy', 'sympy'])
f_4 = sym.lambdify((z, m_1, m_2, s_1, s_2), expression_4, modules=['numpy', 'sympy'])

其中m_1、m_2、s_1、s_2 是标量，z 是已知的一维数组（每个f_i 不必相同）。每个f_i 的输出都是一个标量。

我想（在数字上）找到m_1、m_2、s_1、s_2 这样，

sum(f_1(z_i, m_1, m_2, s_1, s_2)) = 0
sum(f_2(z_i, m_1, m_2, s_1, s_2)) = 0
sum(f_3(z_i, m_1, m_2, s_1, s_2)) = 0
sum(f_4(z_i, m_1, m_2, s_1, s_2)) = 0

i 上的总和。

使用scipy.optimize，不知道怎么实现（使用fsolve或者root）。

【问题讨论】：

标签： python optimization scipy

【解决方案1】：

要将F1、F2、F3、F4这4个函数全部驱动为0，最小化平方和 F1^2 + F2^2 + F3^2 + F4^2：如果总和很小，则每个 F 也必须很小。（例如， sum scipy.optimize.least_squares 这样做：

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
    # http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/optimize.html#least-squares-minimization-least-squares
    # http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.least_squares.html

# minimize F1**2 + F2**2 + F3**2 + F4**2 --
starting_guess = ...
ret = least_squares( [F1, F2, F3, F4], x0=starting_guess, max_nfev=20, verbose=2 )
xmin = ret.x

（不要将 F 平方——least_squares 会为你做到这一点。）

在您的情况下，您想将总和移出lambdify：

f1 = sym.lambdify((z, m1, m2, s1, s2) ... ))
Z1 = numpy array whose rows are all the z_i for f1

def F1( m1, m2, s1, s2 ):
    sum = np.sum([ f( z, m1, m2, s1, s2 ) for z in Z1 ])
    print "F1: %-10.3g at %-10.3g %-10.3g %-10.3g %-10.3g" % (sum, m1, m2, s1, s2)
    return sum

# check a few values in ipython --
F1( 0, 0, 0, 0 )
for x in np.eye( 4 ):
    F1( *x )

当它起作用时，F2 F3 F4 是相似的。也检查一下。然后优化：

starting_guess = ...
ret = least_squares( [F1, F2, F3, F4], x0=starting_guess, max_nfev=10, verbose=2 )
xmin = ret.x

或更多迭代，或使用xtol ftol。
least_squares 有很多选项，请参阅 full doc。

对于任意数量的功能，有更好的方法来执行上述操作，而不仅仅是 4 个，任意数量的变量：更一般，更模糊。

（优化建议：

从小处着手
检查每一步，使用打印语句，并在 ipython 中交互。

【讨论】：