找到除法的余数给定的音调和 987654321 的总和答案

【问题标题】：Finding remainder of division the sum of the given diapason and 987654321找到除法的余数给定的音调和 987654321 的总和
【发布时间】：2016-12-12 17:21:16
【问题描述】：

你能帮帮我吗？我需要一个快速算法来计算以下内容：除法的余数从给定范围内的幂中的整数之和（从 A 到 B ，1 A,B A = 10，B = 15，我应该计算

((11^11) + (12^12) + (13^13) + (14^14) ) % 987654321

如果我使用这种直接方法，则需要很长时间才能计算出来。计算这种余数有什么诀窍吗？

【问题讨论】：

好吧，我搜索了一下，似乎“从 a 到 b 的 n^n 之和”之类的系列似乎没有封闭形式或其他有用的属性，所以恐怕你'将只是总结一堆权力。当然，在整个过程中，没有理由使用大于 987654321 的数字，所以它不会太是灾难性的。 E：如果你得到多个查询，你可以先预计算整个事物的前缀和
@HopefullyHelpful 没必要。 OP 需要快速模幂运算，您最大的寄存器需要能够容纳大约。模数的平方（此处为 64 位即可）。
@HopefullyHelpful 如果 A = 1 且 B = 10^8，如何在 1 秒内运行？
@PhamTrung 在具有许多逻辑内核的机器上进行快速模幂运算。
在每一步之后通过平方和取模进行指数应该很容易做到这一点。您可以将其与某种素筛相结合，以重用早期的数字并最大限度地减少工作。

标签： algorithm performance math optimization

【解决方案1】：

使用快速模幂运算，我们可以在O(log(n)) 时间内计算出x^n。在最坏的情况下，如果A = 1 and B = n 其中n 可以达到10^8，那么总复杂度将在左右

log(2) + log(3) + log(4) + ... + log(n)
= log(n!)
~ n*log(n) - n + O(log(n))  (According to Striling's Approximation)

Wikipedia

快速模幂运算

此方法用于快速计算x^n 形式的幂（在O(log(n)) 时间）。

它可以作为递归关系给出：

x^n = (x^2)^(n/2)     if n is even
    = x*{(x^2)^(n/2)} if n is odd

因此，实际上我们不是将xn 乘以倍，而是执行以下操作：

    x = x^2;
    n = n/2;

直到我们遇到一个小案例，n = 1。

Python 代码（本例使用模数）：

def fast(x, n, mod):
    if n == 1:
        return x % mod
    if n % 2 == 0:
        return fast(x**2 % mod, n/2, mod)
    else:
        return x*fast(x**2 % mod, (n-1)/2, mod) % mod

【讨论】：