是否存在确定后序序列是否为有效 BST 的线性解决方案？答案

【问题标题】：Is there a linear solution to determining whether a postorder sequence is a valid BST?是否存在确定后序序列是否为有效 BST 的线性解决方案？
【发布时间】：2014-08-18 01:19:07
【问题描述】：

问题：给定一个整数数组，确定它是否可以是 BST 的后序遍历序列。例如：[5, 7, 6, 9, 11, 10, 8] 返回 true，但 [7, 4, 6, 5] 返回 false。

我想知道我们是否可以在线性时间内做到这一点。这是我想出的N^2 和NlgN 的解决方案。

N^2 solution：扫描数组，检查根的左右子树的值分别小于和大于根的值。对每个子树重复。

NlgN solution：从输入数组的右到左构建一个 BST。跟踪我们可以在任何时候遇到的最大数量。每次我们插入一个左孩子时，这个最大数量都会更新到父节点。如果我们尝试插入一个大于跟踪的最大数量的节点，我们可以返回 false。

【问题讨论】：

标签： performance algorithm data-structures tree binary-search-tree

【解决方案1】：

这是一个线性时间算法，比这个答案的最新版本简单得多。

def checkbst(lst):
    # stack contains the values of nodes from which the current path departs right
    stack = [float('-inf')]
    # upperbound is the value of the leafmost node from which the path departs left
    upperbound = float('inf')
    for x in reversed(lst):
        # pop stack elements greater than or equal to x
        # stack[-1] is the top
        while stack[-1] >= x:
            upperbound = stack.pop()
        if x >= upperbound:
            return False
        # push
        stack.append(x)
    return True

可以想象一个递归过程，它使用根值最后出现的事实，如下所示。从右到左扫描，直到找到小于根的值。在该值之后拆分数组的最大正确前缀。递归验证右半部分。验证左半部分的值都小于根，然后递归地验证一半。

后面的递归处于尾部位置，可以转化为迭代。可以推迟检查值是否小于根，因为上限随时间单调递减。我们将递归堆栈的剩余部分保留在stack 中，即我们从中进行非尾递归的根值序列。内部循环确定调用堆栈中应考虑当前元素的程度。它是摊销的常数时间。

【讨论】：

这个算法我好像很难理解，你能举个例子，在[5, 7, 6, 9, 11, 10, 8]后序序列上尝试这个算法吗？
@dguan 在高层次上，它完全按照您的预期工作：通过拆分 [5, 7, 6, 7, 9, 11, 10, 8] -> [5, 7, 6 ] [9, 11, 10]，然后是 [5, 7, 6] -> [5] [7]，然后是 [9, 11, 10] -> [9] [11]。你肯定同意我们可以对有效的后序使用二分搜索来找到 root 之间的边界；我声称，即使数组不是那么有序，并且存在不止一个这样的边界，我们仍然会保持较弱的属性，即找到一个比根小的键，然后紧跟一个更大的键。当我们开始检查有问题的键时，我们随后会发现这种调皮行为。
以上 cmets 是关于以前的版本。
谢谢，这是一个非常好的解决方案。我没有注意到我们可以使用 Stack 而不是构建 BST！

【解决方案2】：

这里是 C++ 代码

bool verifyPostorder(vector<int>& nums)
{
     int high=INT_MAX,index=nums.size();
     for(int j=int(nums.size())-1;j>=0;--j)
  {
       if(nums[j]>high)return false;
       while(i<=int(nums.size())-1 && nums[j]<nums[i])
             high=nums[i++];
       nums[--i]=nums[j];
  }
  return true;

}

你可以尝试按照这个写verifyPreorder。

【讨论】：