为什么选择排序或冒泡或插入排序的效率被称为 n^2 而不是 n(n-1)/2答案

【问题标题】：Why efficiency of selection sort or Bubble or Insertion sort is said to be n^2 and not as n(n-1)/2为什么选择排序或冒泡或插入排序的效率被称为 n^2 而不是 n(n-1)/2
【发布时间】：2016-09-26 20:57:08
【问题描述】：

假设我有一个递减数字数组（最坏情况），例如：

Nums = {50,40,30,20,10}（大小 = 5）

现在如果我使用选择排序（按升序对它们进行排序）：

选择排序算法：

for(i=0; i<=size-2; i++)
{
    for(j=i+1; j<=size-1; j++)
    {
        if(Nums[i]>Nums[j])
       {
            temp=Nums[i]; 
            Nums[i]=Nums[j]; 
            Nums[j]=temp; 
       } 
    }
}

现在，如果我们分析执行的操作或迭代次数，以下是比较索引的方式

(OuterLoopIndex Vs InnerLoopIndex):

1st Iteration: 0 - 1,  0 - 2,  0 - 3,  0 - 4
2nd Iteration: 1 - 2,  1 - 3,  1 - 4
3rd Iteration: 2 - 3,  2 - 4
4th Iteration: 3 - 4

现在，如果将每次迭代中的所有操作总数相加，它们就是 10 (4 + 3 + 2 + 1) 这就像 N 个数字的总和，其公式为 N(N+1)/2 （基本数学），但在我们的示例中这里 N 不是它的最后一个数组索引的大小，它是 size-1 所以这里 N 将是 N-1。

因此，如果在 N(N+1)/2 中替换 N=N-1，我们会得到类似的结果

=> (N-1)(N-1+1)/2

=> N(N-1)/2

冒泡排序和插入排序也是如此。那么为什么说这些排序算法的效率是 n^2 并注意 n(n-1)/2 呢？

当 size=5 时，如果我们考虑 n^2，我们会得到 25，但在考虑 n(n-1)/2 时只有 10？为什么/如何在这里仍然将 n^2 视为效率？

【问题讨论】：

O(n^2) 和 O(n*(n-1)/2) 是等价的。
阅读rob-bell.net/2009/06/a-beginners-guide-to-big-o-notation

标签： algorithm performance sorting big-o

【解决方案1】：

在大 O 表示法中，只有最重要的项才计数，而常数系数被忽略：

O[n(n-1)/2] = O[n²/2 + n/2] = O[n²/2] = O(n²)

【讨论】：

我认为你最右边的表达式有错字（我猜你的意思是 O(n^2)）。
感谢@AmiTavory 告诉我！已更正。

【解决方案2】：

在 big-O 表示法中，您总是取上限，因此贡献更多的项，例如，n 立方乘以一个大数将比 n 平方对相同数字发挥更大的作用，因此您忽略低阶项，因此在使用 big-o 表示法提及顺序时不要提及 then。

【讨论】：

【解决方案3】：

您问题中的陈述并不十分准确。不是说n²，而是说Θ(n²)，即生长的东西与 n² 的顺序相同。

你上面的分析很符合。对于足够大的n：

n (n - 2) / 2 ≤ 2 n²，所以是O(n²) em>，

但是n(n-2)/2≥n²/4，所以是Ω(n²) .

【讨论】：