如何检查是否存在满足一组线性不等式的解集？

Question

是否有可能确定是否存在一组满足 Matlab 之外的一组线性不等式的解决方案（以编程方式）只需一个真/假就足够了，但是否可以在 JavaScript 中使用库（最好是只是一个小的工作原型）或者如果没有任何简单的python库？

我可以通过具有一些约束的自写函数来做到这一点，但该解决方案可能非常不稳定，因此在重新发明轮子之前需要一些专家的意见。

到目前为止，我对确定一组不等式是否存在解集的理解如下：

假设不等式是：

y >= 2x + 1 
y <= 2x - 5
x >  1

这里以 Y 为主题，我可以尝试输入 X 的一些有限正值和 X 的一些有限负值，包括零。

所有不等式的更容易说的域是 [3,2,1,0,-1,-2,-3]

将得到范围（每个不等式的 Y 值）

稍后将比较 Y 的所有值，并查看在给定 X 值上是否存在一些相交区域。

例如：

   when X = 1 
   inequality 1 gives Y >= 3
   inequality 2 gives Y <= -3 
   inequality 3 says X >  1

所以 X = 1 没有找到任何共同点，我将转向另一个 X 值。

但我不太确定何时停止？每个方向上的几个值（正或负）将定义良好的约束并帮助我确定是否存在不等式的解决方案集？

因为不等式的重叠区域可能位于图的一个角落，并且 X 域两侧的一些初始值将证明它们是不相交的独立区域，但我们需要继续迭代可能是对于一个非常大的 X 值，其中两个不等式都有重叠区域，有时即使这样它们也不会相交。

那么是否有已经编写的基本库或函数可以帮助我解决这个问题？或者如果不是，那么我解决这种情况的逻辑/理解是否正确？

而不是 Matlab，而只是简单的 JavaScript 编程库。

后面的解会扩展到2个以上，也可能是3个变量不等式。

我的问题与在 this question from past

我对求解数学方程很陌生，因此我希望能很好地解释我的问题。

Answer 1

如果你有一组线性不等式，你只想知道它们是否可行，你可以形成一个简单的凸优化问题或简单的可行性问题。假设您有一个变量向量 X = [x, y] 要检查其解和一组线性不等式，每个形式为 a1x + a2y <= b。

然后你基本上可以通过逐行堆叠不等式来形成矩阵A和列向量B，这样A的每一行对于每个不等式和对应的系数都有a1和a2的系数B 的行具有常量 b。请注意，对于所有不等式最好使用<= 或>=，因此请相应地调整符号。

现在关注这个问题（假设所有不等式都是<= 形式）。您想解决以下优化问题，其中目标函数具有恒定值0。这也称为feasibility 问题。

minimize    0
subject to  AX <= B

请注意，如果解（最小值）返回infinity，则表示不存在满足上述约束的X。如果求解器返回0（这是常数目标函数的值），则意味着至少有一个满足约束的X。因此，您可以找到是否存在任何解决您的不平等的方法。

您可以为此使用cvxpy 库。这是python 中的一个不错的tutorial。 cvxpy 库也与 numpy 配合得很好，它会为您处理所有内部 solver 细节。您甚至可以将变量 X 限制为采用 real 或 integer 值，并根据 x + 0.y < = a 等线性不等式施加绑定约束。