与python中的无限限制集成

Question

我在 (0,infinite) 限制内积分时遇到困难。我正在尝试做这个 Jupyter 笔记本（不知道这是否是相关信息）。代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy as sc
import math
from scipy.integrate import quad

def integrand3(x,z,m,n):
    return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

def IgK0(z,m,n):
    IntK1 = quad(integrand3, 0, 1, args=(z,m,n))
    return IntK1

IgK0(1,1,1)

这给出了结果：

(0.19224739693489237, 2.1343748650136926e-15)

没关系。但是当我用无穷大替换上限时，我得到'nan'作为输出。见以下代码：

def IgKI(z,m,n):
    IntKI = quad(integrand3, 0, np.inf, args=(z,m,n))
    return IntKI

当我对(m,n)使用(0,0)值时，虽然有一些我不明白的错误，但至少我得到了一些答案。

IgKI(1,0,0)

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in cosh
  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))
<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in sinh
  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))
(0.42102443824067737, 1.3628527263018718e-08)

但是当我对 (m,n) 使用任何其他值时，我会得到以下结果：

IgKI(1,0,1)

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in cosh
  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))
<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in sinh
  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))
<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: invalid value encountered in double_scalars
  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))
<ipython-input-76-9bee7a5d6456>:2: IntegrationWarning: The occurrence of roundoff error is detected, which prevents 
  the requested tolerance from being achieved.  The error may be 
  underestimated.
  IntKI = quad(integrand3, 0, np.inf, args=(z,m,n))

(nan, nan)

那么，我做错了什么？

Answer 1

错误很明显 - 您遇到了溢出，一切都中断了。这是由于您的功能迅速分歧：

>>> [np.cosh(10**x) for x in range(5)]
__main__:1: RuntimeWarning: overflow encountered in cosh
[1.5430806348152437, 11013.232920103324, 1.3440585709080678e+43, inf, inf]

在 1000 处，Python 已经无法计算 cosh（例如）。事实上，将(1,1,1) 集成到 100 是可以的。由于这是数值积分，因此需要计算边界处的值（无穷大也将转换为边界，但您可以只用 1000 进行测试）。正如您从警告中看到的那样，这意味着函数的每个部分都是单独计算的，更不用说您将其乘以幂，然后取幂。

这个库不能满足你的需要。您可以尝试使用 sympy 或 Mathematica 等更专业的工具进行符号集成。