如何手动计算 FIRST 组

Question

我的导师提供的例子之一我听不懂。

例子

S ::= aBA | BB | Bc
A ::= Ad | d
B ::= ε

我们有

FIRST(B) = FIRST(ε)
         = {ε}

FIRST(A) = FIRST(Ad) ∪ FIRST(d)
         = FIRST(A) ∪ {d}
         = {d}

FIRST(S) = FIRST(aBA) ∪ FIRST(BB) ∪ FIRST(Bc)
         = FIRST(a) ∪ (FIRST(B)\{ε}) ∪ FIRST(B) ∪ (FIRST(B)\{ε) ∪ FIRST(c)
         = {a, ε, c}

为什么在 FIRST(S) 计算中有 FIRST(B)？不应该吗

(FIRST(B)\{ε)?

为什么 FIRST(S) 计算中缺少 A？

Answer 1

This page 给出了派生 FIRST（和 FOLLOW）集合的机械规则。我将尝试解释这些规则背后的逻辑以及它们如何应用于您的示例。

第一组

FIRST(u) 是可以在u 的完整派生中首先出现的终结符集合，其中u 是终结符和非终结符的序列。换句话说，在计算FIRST(u) 集合时，我们只寻找可能是从u 派生的字符串的第一个终端的终端。

FIRST(aBA)

根据定义，我们可以看到FIRST(aBA) 减少为FIRST(a)，然后减少为a。这是因为无论A 和B 产生是什么，终端a 总是首先出现在从aBA 派生的任何东西中，因为a 是一个终端，并且不能从前面移除的顺序。

FIRST(Bc)

我现在要跳过FIRST(BB)，然后转到FIRST(Bc)。这里的情况有所不同，因为B 是非终端。起初，我们说FIRST(B) 中的任何东西也在FIRST(S) 中。不幸的是，FIRST(B) 包含 ε 这会导致问题，因为我们可能会遇到这种情况

   FIRST(Bc)
-> FIRST(εc)
=  FIRST(c)
=  c

其中箭头是可能的推导/归约。一般来说，我们因此说FIRST(Xu)，其中ε 在FIRST(X) 中，等于(FIRST(X)\{ε}) ∪ FIRST(u)。这解释了您计算中的最后两项。

FIRST(BB)

使用上述规则，我们现在可以将FIRST(BB) 推导出为(FIRST(B)\{ε}) ∪ FIRST(B)。同样，如果我们计算FIRST(BBB)，我们会将其减少为

  FIRST(BBB)
= (FIRST(B)\{ε}) ∪ FIRST(BB)
= (FIRST(B)\{ε}) ∪ (FIRST(B)\{ε}) ∪ FIRST(B)

值得注意的是，在计算 FIRST 集合时，符号序列中的最后一个符号永远不会从中删除空字符串，因为此时，空字符串是合理的可能性。这可以从您的示例中的可能推导中看出：

   S
-> BB
-> εε
-> ε

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希望您可以从以上所有内容中了解为什么 FIRST(B) 出现在您的计算中，而 FIRST(A) 没有出现。