我的算法中大 O 符号的测量是否正确？

Question

Here is the link to algorithm without comments, to see better

function getLastFactor(n) {
 var tempArr = [2, 3], max = Math.sqrt(n); /* (1 + 1) 
 it is despised
 */
 for(var i = 5; i < max; i += 2) { /* 
 (sqrt(n) - 5)  ---> ( 5 is despised )
 */
  if(n%i) continue; /* 
  sqrt(n) - 5 operations 
  PD: Should I add this? or is it already included in the for, in (sqrt(n) - 5 above) ?
 */
  if(check(tempArr, i)) continue; // How do I measure this? If I do not have security of the number?
  tempArr.push(i); // 1 operation it is despised
 }
 return tempArr[tempArr.length - 1]; // 1 operation
}

function check(array, i) {
 for(var j = 0, l = array.length; j < l; ++j) { // sqrt(n) operations 
  var cur = array[j]; // 1 operation
  if(!(i%cur)) return true; // 1 operation
 }
 
// O(3 * sqrt(n))

我不知道真正加起来是什么，我读过这并不重要，因为Big O 符号将其标准化，消除了次要顺序的条款。但我有很多疑问，比如我在代码本身中留下的一些疑问，还有：

• 1) 我应该计算依赖条件的操作吗？ ,想象一下我有一个条件，如果你判断为真，会做一个循环来提高n次操作的效率，这个应该考虑到，因为它会造成很大的变化。

• 2）我认为这段代码的效率是O (sqrt (n) * 3)，这样对吗？

这个问题不是重复的，我通过网络阅读了很多，尤其是在这个社区，几乎所有的问题/答案都是基于理论的，几乎从未见过理论和实践的例子同时出现时间。

Answer 1

首先，当使用 big-o 表示法时删除所有常量，所以O (sqrt (n) * 3) 实际上是O (sqrt (n))。

为了正确分析这段代码的渐近复杂度，我们需要一些数论背景。这个算法基本上执行的是确定n 的主要因素（只返回最大的）。程序的主要部分是一个for 循环，它遍历从5 到sqrt(n) 的所有奇数，所以迭代次数是(sqrt(n) - 5) / 2，或者用big-o 术语来说，O(sqrt(n))。

接下来，有一个语句if(n%i) continue; 消除了所有不是n 的除数的数字（无论它们是否为素数）。因此，仅当i 是n 的除数时才会执行其余代码。 Asymptotic bound for number of divisors 是 O(n^{1 / ln(ln(n))})。

最后，有一个函数check 遍历数组tempArr，其中包含到目前为止找到的n 的素数除数。一个正整数n 有多少个素数除数？ Asymptotic bound for number of prime divisors 是最坏的情况（当n 被称为primorial number）O(ln(n) / ln(ln(n)))。

现在让我们总结一下。即使我们假设n 是原始的并且所有的主要除数都很快找到（所以array.length 有一个最大可能值），if(n%i) continue; 之后的代码部分的渐近复杂度是O(n^{1 / ln(ln(n))} * ln(n) / ln(ln(n)))。不是那么容易看到，但是它比O(sqrt(n)) 增长得慢，所以总复杂度是O(sqrt(n))。