获取积分向量值

Question

我正在尝试整合正弦函数。我的目标不仅是获得一定距离之间区域的价值，而且是综合课程的具体价值。

实现此目的的一种方法是使用 cumtrapz。我想使用积分或四边形获得相同的结果。所以我想知道是否有类似cumquad的东西？

我尝试为自己写一些东西，但它运行起来很慢，而且似乎比 cumtrapz 还要糟糕。稍后我想整合测量数据。所以它不会像正弦那样简单。

这是我当前的代码：

a = 0; b = 10;

x = a:0.1:b; 
y = 2*sin(3*x);
pp = spline(x,y);

y2=zeros(1,length(y));
y3=zeros(1,length(y));

y2(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
y3(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
for a=2:(length(y)-1)

   y2(a) = y2(a-1)+integral(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));
   y3(a) = y3(a-1)+quad(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));

end
y4=cumtrapz(x,y);
% y5=cumsum(y);

plot(x,y)
hold on
plot(x,y2,'-ro')
plot(x,y3,'-kx')
plot(x,y4,'g')
syms x % compare with analytical result
ya=2*sin(3*x);
ya5=int(ya)+(2/3);
ezplot(x,ya5)

Answer 1

使用integral

我认为没有办法让 MATLAB 返回沿路径的积分，因此您一次执行一个 Δx 的积分是正确的。 缓慢来自每个integral 调用的循环和随后的重新启动。 您可以通过将每个区间上的积分设置为向量值函数来避免循环。

数学

假设我们将 x 划分为 N-1 个区间，总共有 N 个边界，并将区间边界表示为 x _n 其中 n ∈{1,2,3...,N} 使得 x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ... ≤ x_N。 那么区间上的任何积分都是

使用u-替代：

积分变为：

其中Δx_n = x_n - x_n-1

代码

所以现在，我们可以通过指定下界x_n-1，指定区间宽度Δx来对任意函数进行区间积分>，并从 0 整合到 1。 最好的部分是，如果下界和区间宽度是向量，我们可以根据 u 创建一个向量值函数，并让 integral 与选项 'ArrayValued' = true 集成。

x    = a:0.1:b; 
xnm1 = x(1:end-1);
dx   = x(2:end) - xnm1;
fx   = @(x) 2*sin(3*x);
f    = @(u) dx .* fx(dx*u+xnm1);
y    = cumsum([0,integral(@(u)f(u),0,1,'ArrayValued',true)]);

cumsum 说明了这样一个事实，即给定区间内的每个积分都需要将前一个区间的值添加到其中。

在我的机器上，这至少比循环版本快一个数量级，并且随着间隔计数的增加而变得更好。

使用ode45

使用也可以使用ode45 来执行集成。 它的效率不如integral 方法，但它在概念上可能更容易并且看起来更干净。 事实上，ode45 在需要返回与integral 相当的绝对误差时，比上面的积分方法慢了大约 10 倍。

a    = 0;
b    = 10;

% These options are necessary to approach the accuracy of integral
opt = odeset('RelTol',100*eps(),'AbsTol',eps());
sol = ode45(@(x,y) 2*sin(3*x),[a,b],0,opt);

x    = a:0.01:b; 
yint = deval(sol,x);