具有不同迭代的嵌套循环的大 O？答案

【问题标题】：Big O of nested loop that with varying iterations?具有不同迭代的嵌套循环的大 O？
【发布时间】：2017-07-26 01:26:56
【问题描述】：

我在确定迭代依赖于外部循环的两组代码示例的 Big O 运行时间时遇到了一些麻烦。我对 Big O 运行时间有基本的了解，并且可以计算出更简单代码示例的运行时间。我不太确定某些行是如何影响运行时间的。

我会考虑第一个 O(n^2)。不过，我不确定。

for(i = 1; i < n; i++){
 for(j = 1000/i; j > 0; j--){  <--Not sure if this is still O(n)
    arr[j]++; /* THIS LINE */
 }
}

我对这个有点迷茫。 O(n^3) 可能 O(n^2)？

for(i = 0; i < n; i++){
 for(j = i; j < n; j++){
    while( j<n ){
      arr[i] += arr[j]; /* THIS LINE */
      j++;
    }
 }
}

我找到了这篇文章并将其应用于第一个代码示例，但我仍然不确定第二个。 What is the Big-O of a nested loop, where number of iterations in the inner loop is determined by the current iteration of the outer loop?

【问题讨论】：

标签： c runtime big-o

【解决方案1】：

关于第一个。这是不是 O(n^2)!!!为了简单易读，我们用伪代码的形式重写一下：

for i in [1, 2, ... n]:                              # outer loop
    for j in [1, 2, ... 1000/i]:                     # inner loop
        do domething with time complexity O(1).      # constant-time operation

现在，内循环内的恒定时间操作数（取决于外循环的参数i）可以表示为：

现在，我们可以计算出总体上恒定时间操作的数量：

这里，N(n) 是一个调和数（参见wikipedia），这些数有一个非常有趣的性质：

C 是 Euler–Mascheroni constant。因此，第一种算法的复杂度为：

关于第二个。似乎代码包含错误，或者是一个技巧测试问题。代码解析为

for (i = 1; i < n; i++)
    for(j = i; j < n; j++){
        arr[j]++;
        j++;
    }

内循环采用

运算，因此我们可以计算整体复杂度：

【讨论】：

这应该是公认的答案，因为它纠正了 OP 对问题 1 的错误答案。
@meowgoesthedog 同意

【解决方案2】：

对于第二个循环（您似乎仍然需要答案），您有一些误导性的代码，其中您有 3 个嵌套循环，因此乍一看，运行时为 O 是有道理的(n^3)。

但是，这是不正确的。这是因为最里面的 while 循环修改了 j，与 for 循环修改的变量相同。这段代码其实等价于下面这段代码：

for(i = 0; i < n; i++){
  for(j = i; j < n; j++){
    arr[i] += arr[j]; /* THIS LINE */
    j++;
  }
}

这是因为内部的 while 循环将运行，递增 j 直到 j == n，然后它会中断。此时，内部 for 循环将再次增加 j 并将其与 n 进行比较，它会发现 j >= n，然后退出。你应该已经熟悉这个案例了，并且认为它是 O(n^2)。

请注意，第二段代码是不安全的（技术上），因为当您在 while 循环完成运行后再增加一次时，j 可能会溢出。这将导致 for 循环永远运行。但是，这只会在 n = int_max() 时发生。

【讨论】：