如何按增长率顺序排列功能？所以 f(n) 是 O(g(n))

Question

我有以下需要按增长率排序的函数。但是如何证明函数 g(n) 在列表中紧跟在函数 f(n) 之后，那么 f(n) 应该是 O(g(n))？

我尝试为 n 键入一些值（例如 10、1000、5000），它从 1000 变为 5

我怎样才能渐近地证明这个顺序？

Answer 1

任何正多项式函数的增长速度都比任何多项式函数都快，也就是说，对于任何 a > 0，lg^b(n) = o(n^a)（注意小 o）

这意味着 f2 >> f4。

其他一切（指数级）都比 f2 增长得更快。

比较 f1 = 10^n 和 f3 = n^n 两边取log比较nlog10和nlogn。显然，f3 >> f1（log10 是一个常数）。

比较 f3 = n^n 和 f5 = 2^(log^1/2(n)) 两边取 log 比较 nlogn 和 (log^1/2(n))log2。 f3 >> f5（两边平方，或者使用以下事实：任何正多项式函数的增长速度都比任何多项式对数函数都快）

剩下的就是比较 f5 = 2^(log^1/2(n)) 和 f1 = 10^n。 两边取 log 比较 (log^1/2(n))log2 和 nlog10。 f1 >> f5。

使用所有这些事实可以得出结论，f4 。或者，正如其他人指出的那样，您可以通过计算限制来比较它们。

Answer 2

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