复杂性——决定增长的顺序答案

【问题标题】：Complexity - determining the order of growth复杂性——决定增长的顺序
【发布时间】：2015-05-01 08:05:09
【问题描述】：

我了解大部分情况下如何计算函数的复杂度。确定数学函数的增长顺序也是如此。 [我可能不像我想的那样理解它，这就是为什么我可能会问这个。]例如：

an^3 + bn^2 + cn + d 可以用 big-o 表示法写成 O(n^3)，因为对于足够大的 n，与 an^3 相比，术语 bn^2 + cn + d 的值是微不足道的（常数系数 a , b, c 和 d 也被排除在外，因为它们对价值的贡献也变得微不足道）。

我不明白的是，当主导词涉及某种划分时，这是如何工作的？例如：

a/n^3 + bn^2 或n^3/a + bn^2

对于前一个公式，让 n=100, a=1000 和 b=10，那么我们有

n^3/a = 100^3/1000 = 1000 和 bn^2 = 10*100^2 = 100,000

对于后者来说甚至更引人注目 - 在这种情况下，领先的术语不仅像上面一样缓慢增长，而且还在缩小，不是吗？：

a/n^3 = 1000/100^3 = 0.001 和 bn^2 = 100,000 同上。

在这两种情况下，第二项的贡献要大得多，那么实际上确定增长顺序的不是n^2吗？

当前导词后面跟着一个减法 (a/n^3 - bn^2) 或当第二个词也是除法时 (n^3/a + n^2/b) 或当两者都是除法但混合时，它会变得更加复杂（至少对我而言）订单（a/n^3 + n^2/b）等

这个列表似乎无穷无尽，所以我的一般问题是，如何理解和处理涉及除法（和减法）的公式以确定给定函数的增长顺序？

【问题讨论】：

标签： algorithm big-o complexity-theory division

【解决方案1】：

除法只是乘以multiplicative inverse，所以n^3/a == n^3 * a^-1，您可以像处理任何其他系数一样处理它。

关于减法a*n^3 - b*n^2 <= a*n^3，所以它也在O(n^3)中。此外，a*n^3 - b*n^2 >= a/2 * n^3 用于足够大的n 值，它也在Omega(n^3) 中。关于减法更详细的解释可以在：Algorithm complexity when faced with substraction in value

大 O 表示法通常用于增加（不必是单调的）函数，而像 a/n 这样的减少函数并不适合它，尽管 O(1/n) 似乎仍然是完美定义的， AFAIK，它是O(1) 的子集（除非您只考虑离散函数）。但是，这对于算法的分析价值很小，因为算法的复杂度并不能真正缩小..

【讨论】：

取反是很聪明的，但是当它是a/n^3时这也可以吗？因为那样我们会得到a * (n^3)^-1
@Beko 不，只针对系数。我在答案的最后一段提到了a/n（显然是任何类似的功能）。
澄清一下，这是否意味着a/n之类的函数在算法分析中并没有真正考虑到？
@AmiTavory 好的，但是如果我们有 a/n^2 + an 会怎样。所以a/n^2 = O(1) 但an = O(n)。
@Beko 不，a/n^2 + an 在 O(n) 中

【解决方案2】：

对于您发布的问题类型有一个非常简单的规则。

假设你试图找到f(n)的增长顺序，并且你找到了一些简单的函数g(n)这样

lim {n -> inf} f(n) / g(n) = k

其中k 是一个正有限常数。那么

f(n) = Theta(g(n))

（从微积分定义中很容易看出这一点。）

现在让我们看看这如何应用于您的示例：

lim {n -> inf} (a/n^3 + bn^2) / n^2 = b

所以它是Theta(n^2)。

lim {n -> inf} (a n^3 - bn^2) / n^3 = a

所以它是Theta(n^2)。

（当然，假设 a 和 b 是正数。）

【讨论】：