从具有多个参数的算法中查找封闭形式答案

【问题标题】：Find Closed Form from Algorithm with multiple arguments从具有多个参数的算法中查找封闭形式
【发布时间】：2016-08-01 23:00:04
【问题描述】：

function What(n,a,total)
    if n=0 
        return total
    elseif n is even and n>0
        return What(n/2, a+1, total)
    elseif n is odd
        return What((n-1)/2, a+1, total + 2^n)
    endif
end What

我不确定如何找到该算法的封闭形式。这不是家庭作业问题，只是为即将到来的期末考试学习以前的考试。根据给定的标记/空间，它应该是一个小/简单的解决方案。

假设总数从 0 开始，

如果 n 是 2 的幂，我可以看到算法返回 2；如果 n 是偶数，则返回 2^(n/2) + 2；如果 n 是奇数，则为 2^n + 2。

第一个 elseif 我得到了 T(n/2) + 1 次，第二个 elseif 我得到了 T((n-1)/2) + 2^n + 1 (?) 次。

总的来说，我不知道如何在这里找到一个封闭的表格/使用重复替换。

【问题讨论】：

您是想为算法的返回值，还是为它的时间复杂度寻找一个封闭的形式？不清楚。
@user2357112 我给出了运行时间的答案。我不认为我有封闭形式的数学:-)

标签： algorithm recurrence

【解决方案1】：

了解What() 函数的复杂性似乎仅取决于传递给它的第一项。通过检查，可以很清楚地看到运行时间为O(lg_2 N + 2)，对于整数N > 0。要看到这一点，只需考虑前几个整数倍数为 2 的函数调用次数：

num | # function calls
 2  |         3 = lg_2(2) + 2
 4  |         4 = lg_2(4) + 2
 8  |         5 = lg_2(8) + 2
 16 |         6 = lg_2(16) + 2

具体来说，每次调用What(n) 都会调用What(floor(n/2))，这意味着对于递归的每个线性步骤，n 被分成两半。

【讨论】：