我正在学习用于快速整数乘法的 Karatsuba algorithm 并想知道，既然计算机已经在 CPU 中内置了专用硬件来进行乘法运算，为什么还需要这个算法？
是不是大数很难相乘，但算法把它分解成更简单的步骤，硬件更容易处理，因为硬件擅长乘小数？
【问题讨论】：
所有 CPU 都有固定的 ALU/FPU 位宽。
例如，在 i80x86 (PC) 上，ALU 仅限于：
i8086+ 16 bit
i80386+ 32 bit
x64 arch 64 bit
只允许计算最多 16/32/64 位数字作为操作数。 i80x87 FPU 使用 80 bit 数字表示，它从/到 IEEE float(32bit)/double(64bit) 限制精度。
如果您需要计算位宽大于硬件限制的数字
然后您需要将其分解为可在 ALU/FPU 上计算的块（并将它们作为数字处理）并将它们的结果组合成最终值。 ALU 对此进行计数，这就是为什么 CPU 具有 Carry 标志并且 ALU 支持带进位的加法和减法。现在，如果您正在做简单的+/-，那么您只需添加/替换从最低（LSW）到最高（MSW）传播进位的所有数字。见：
乘法和除法更复杂，你需要使用长算法（比如你在纸上计算），通常是O(n^2)。其中n 是“位数”的数量。一位通常是8/16/32/64 位数或其最大的10^m 基数。当您计算小数字（最多几个 100 倍位）时，更高级的算法没有任何好处，因为它们的开销太大。对于更大的数字，情况对他们有利。见：
计算大浮点数很棘手，通常在整数算术 ALU 上而不是在 FPU 中完成速度更快。但在某些情况下，如果您将值分解为更多变量，例如在求和/积分时提高准确性，您仍然可以从 FPU 中受益，请参阅：
【讨论】：
这类算法往往只对多精度数字有效——这实际上对 RSA 之类的东西有用。不管他们是否有回报，理论上都对制定多精度算术的最佳算法感兴趣。
当然，硬件也需要设计，人们有时会使用除法算法，这些算法不是教给刚开始算术的孩子的。维基百科建议https://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm#SRT_division，这并不完全是高科技。有一些建议甚至实际使用 Newton-Raphson 迭代进行除法的示例。
【讨论】：
BYTE/WORD/DWORD/QWORD... 这样的分段处理，并且通常可分为低半和高半
如果硬件已经做到了，为什么还需要乘法算法？
因为硬件还没有做到这一点。硬件最多只能进行 64 位或 128 位乘法。你提到的 Karatsuba 算法只有在你的数字大很多数量级时才会开始有用。
【讨论】：