如何查找是否存在从顶点 x 到顶点 y 的包含边 e 的简单路径

Question

所以我遇到了这个问题，我希望有人可以帮助我。

给定一个无向图 G = (V, E)，2 个顶点 x,y 和一条边 e = (v,u)。

建议一种算法来查找是否存在从 x 到 y 的包含边 e 的简单路径。

所以这里的重点是简单路径而不是常规路径，对于常规路径，使用 BFS 搜索从 x 到 v 的路径和从 u 到 y 的路径是一个简单的问题。

我知道可以使用最大流方法解决问题，但我只是不知道如何构建一个可以在其上实现最大流算法的新图，因此它可以判断是否达到了上述标准或没有，希望得到帮助。

提前致谢。

Answer 1

不共享边（独立于边）

您可以在 x 和 y 处使用 +1 个源，在 u 和 v 处使用 -1 个汇来求解最大流量。

删除边 e，并将所有其他边设置为容量 1。

当且仅当您可以在这个新的最大流量问题中找到 2 的流量时，才存在通过边 e 从 x 到 y 的简单路径。

不共享顶点（顶点独立，即简单路径）

将原图中的每个顶点v[i]拆分成两个顶点a[i]和b[i]。

对于原始中v[i] 和v[j] 之间的每个无向边，将有向边b[j] 添加到a[i] 和b[i] 到a[j]，容量为1。

还添加一条从a[i] 到b[i] 的有向边，每个顶点v[i] 的容量为1。

这个想法是，流必须始终到达a[i] 顶点，并在通过从a[i] 到b[i] 的容量1 瓶颈后从b[i] 顶点离开。这样可以确保每个顶点只能使用一次。

使用这个新图，继续处理与边无关的情况。