计算无向图中的节点对数，使得 W - L >= K

Question

问题：

给定一个由 N 个节点和 N-1 条边组成的无向图。所有边的长度为1。每条边i的权重为Wi。 (0

保证图表没有任何循环。所以两个节点之间总是有一个（也是唯一的）最短路径。

从图中取出一对节点(u, v)：

• l 是两个节点之间最短路径的长度
• w是2个节点间最短路径中权重最大的边

给定数字K，计算图中对(u, v)的数量，使得w - l >= K

示例：

N = 3, K = 1
Edges:
1 - 2 - 3
1 - 3 - 2

（边被描述为：u - v - w）

答案：6。所有可能的对是：(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

蛮力解决方案（N

遍历所有 (u, v) 对，找到与 w 和 l 并排的最短路径。如果 w - l >= K，则增加答案。

时间复杂度：O(N^3)

P/S： 我已经尝试并成功了蛮力解决方案（N

Answer 1

解决 user202729 的提示：

1. 找到质心（移除后留下子树的顶点，每个子树最多有整棵树的一半顶点）。

2. 计算路径包含质心的对 (u, v)。

3. 删除质心并对每个子树进行递归操作。

第 1 步是 O(n)（有一个标准算法），第 2 步将是 O(n log n)，所以主定理给出了 O(n log² n) 的整体.

要实现第 2 步，请在质心处对树进行根处理，并为质心及其每个子节点计算每个深度的后代数量。将 O(log n) 时间前缀和的结果放入 Fenwick 树中。

现在，按权重对边缘进行排序。从最重的边 e 开始，一直到最轻的边，我们计算路径以 e 作为最重边的对。边 e 连接父母和孩子；让 x 成为孩子。对于 x 的每个（不适当的，因此包括 x）后代 u，令 ℓ* = w - K 是最大的 ℓ，使得 w - ℓ ≥ K。使用两个前缀和，计算深度处的其他子树中的顶点 v 的数量大多数 ℓ* - 深度（u）。然后对 Fenwick 树进行更新以将 u 从计数中删除。