计算网格中标记节点k距离内的节点

Question

我正在尝试解决编码挑战，但我的解决方案性能不佳，我正在寻找有关如何改进算法的建议或建议。

谜题如下：

给定一个代表果园的单元格网格，每个单元格可以是空点 (0) 或果树 (1)。一位农民想知道果园内距离所有果树 k 距离内有多少空地。

使用taxicab geometry计算距离，例如：

k = 1

[1, 0]
[0, 0]

the answer is 2 as only the bottom right spot is >k distance from all trees.

我的解决方案是这样的：

1. 遍历网格并存储所有树的位置
2. 从第一个树位置开始 BFS 并存储所有空点，直到我们到达超过 k 距离的邻居
3. BFS 从下一个树位置开始并存储空点的交集
4. 重复第 3 步，直到我们遍历所有树位置
5. 返回所有路口后剩余的空位数

我发现对于具有较大 k 值的大型网格，我的算法会变得非常慢，因为我最终会多次检查网格中的每个点。经过一番研究，我找到了一些类似问题的解决方案，建议取两个最极端的目标节点，然后只比较它们的距离：

• https://www.codingninjas.com/codestudio/problem-details/count-nodes-within-k-distance_992849
• https://www.geeksforgeeks.org/count-nodes-within-k-distance-from-all-nodes-in-a-set/

但是，鉴于以下某些输入，这不适用于我的挑战：

k = 4

[0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0]

使用极端节点方法，即使距离中间树 5 距离，右下角的空白点也会被计算在内。

谁能指出我更有效的方法？我对这些类型的问题还很陌生，所以我很难看到下一步应该采取的措施。

Answer 1

这并不容易实现，但在许多情况下可能是次线性的，最多是线性的。考虑将每棵树的周长表示为四个角（它们标记一个旋转 45 度的正方形）。对于每棵树，计算它与当前交叉点的周边交叉点。困难在于管理交叉口的拐角，由于对角线对齐，交叉点可能包括多个点。跑到最后一个路口，数一数里面有多少空位。

Answer 2

由于您使用出租车距离，BFS 是不必要的。您可以直接计算空点和树之间的距离。

该算法基于https://stackoverflow.com/users/3080723/stef的建议

// select tree near top left corner
SET flag false
LOOP r over rows
  LOOP c over columns
     IF tree at c, r
         SET t to tree at c,r
         SET flag true
         BREAK
  IF flag
     BREAK   
LOOP s over empty spots
  Calculate distance between s and t
  IF distance <= k
     ADD s to spotlist
LOOP s over spotlist
  LOOP t over trees, starting at bottom right corner
     Calculate distance between s and t
     IF distance > k
         REMOVE s from spotlist
         BREAK
RETURN spotlist

Answer 3

由于网格和距离结构，这个问题有一个简单的线性时间解决方案。给定一棵坐标为 (a, b) 的果树，考虑 4 条对角线包围它周围距离为 k 的盒子。向下和向右的对角线具有恒定的 x + y 值，而向下和向左的对角线具有恒定的 x - y 值。

点 (x, y) 在框内（因此，在 (a, b) 的距离 k 内）当且仅当：

1. a + b - k
2. a - b - k

所以我们可以遍历我们的果树 (a, b) 以找到四个数字：

• first_max = max(a + b - k); first_min = min(a + b + k);
• second_max = max(a - b - k); second_min = min(a - b + k);

其中 min 和 max 用于所有果树。然后，遍历空单元格（或者做一些数学运算并减去果树数量，如果您的网格很大），计算有多少空点 (x,y) 满足

1. first_max
2. second_max

这段 Python 代码（以程序风格编写）说明了这个想法。每个边界框的每条对角线恰好截断了一半的平面，所以这相当于平行半平面的交集：

fruit_trees = [(a, b) for a in range(len(grid))
                      for b in range(len(grid[0]))
                      if grid[a][b] == 1]

northwest_half_plane = -infinity
southeast_half_plane = infinity

southwest_half_plane = -infinity
northeast_half_plane = infinity

for a, b in fruit_trees:
    northwest_half_plane = max(northwest_half_plane, a - b - k)
    southeast_half_plane = min(southeast_half_plane, a - b + k)

    southwest_half_plane = max(southwest_half_plane, a + b - k)
    northeast_half_plane = min(northeast_half_plane, a + b + k)

count = 0
for x in range(len(grid)):
    for y in range(len(grid[0])):
        if grid[x][y] == 0:
            if (northwest_half_plane <= x - y <= southeast_half_plane
            and southwest_half_plane <= x + y <= northeast_half_plane):
                count += 1

print(count)

关于代码的一些注释：从技术上讲，数组坐标是从图片的笛卡尔坐标旋转四分之一圈，但这在这里无关紧要。代码故意遗漏了某些看起来很明显的“优化”，原因有两个：1. 最佳优化取决于果树和网格的输入格式，以及 2. 解决方案，虽然概念简单且简单阅读，在写作时要做到正确并不容易，重要的是代码“明显正确”。如果需要性能，可以稍后添加诸如“如果下限超过上限则提前退出并返回 0”之类的内容。