所有对图上的所有路径答案

【问题标题】：All pairs all paths on a graph所有对图上的所有路径
【发布时间】：2011-03-09 17:38:41
【问题描述】：

这可能是一个可能没有最优解的问题。假设我有一个有向图，不知道它是否有任何循环（循环检测将是这个问题的一个方面）。给定一组顶点（可能是数百万个顶点），我需要计算给定图的所有唯一对之间的所有不同路径（没有重复顶点的路径）。我将如何处理这种情况？

让我们看看一个蛮力的方法来做到这一点：

从图中计算所有可能的对。
对于每对图，使用 DFS 获取从 Source 到的所有路径目的地。
假设这些对在哈希表中表示，将路径计数作为该对的值。
对其余的对重复此操作。

人们能指出哪些地方可能会出错吗？让我们以这种方式思考这个问题，找到地球上所有城市之间的所有不同路径的计算挑战是什么？如果有人尝试解决这个问题，应该从哪里开始？

编辑：提出的一些算法在 O(n!) 阶乘时间内产生结果。对于资源有限的单台机器来说，这是一个令人生畏的计算。有谁知道 map-reduce 技术可以将图遍历问题分解成更小的块？

【问题讨论】：

当你找到周期时，你想如何处理它们？比如说，给定一个图 {(A,B), (B,C), (C,A), (C,D)}。 A 和 D 之间有无数条不同的路径：ABCD、ABCABCD、ABCABCABCD、ABCABCABCABCD...任何循环图在其所有对之间都有无数条不同的路径。
好吧，假设是您在第一次通过时标记了顶点。在这种情况下，唯一不同的路径是 ABCD。你去A->B->C->D。任何重新访问顶点的遍历都将被丢弃。
@sc_ray 将该限制添加到您的问题中将为您提供更好的答案。 “不同的路径”和“没有重复顶点的路径”不是一回事。
@Martinho Fernandes - 得分。更新了帖子
@spinning_plate：因为它需要所有对之间的所有路径，是的，ABC 是 A 和 C 之间的路径。但当然不是 A 和 D 之间的路径。

标签： algorithm path runtime hadoop graph-traversal

【解决方案1】：

获得粗略近似路径的 Floyd-Warshall 概括如下：

 procedure FloydWarshall ()
    for k := 1 to n
       for i := 1 to n
          for j := 1 to n
             path[i][j] = path[i][j] + path[i][k]*path[k][j]

这里有一个关于如何扩展它的粗略想法。免责声明 - 这不是具体的 - 它非常手摇，但希望它的帮助不仅仅是混淆。它有助于理解算法是如何工作的。它从图的邻接矩阵开始。在每次迭代 k 中，我们说从 i 到 j 的路径数等于之前迭代中从 i 到 j 的路径数加上从 i 到 j 通过 k 的路径数。

因此，将图分解为 n 个大小为 k x k 的任意子邻接矩阵，并在上面对它们中的每一个进行计算。现在您有了路径的数量，并通过在组合矩阵上重新计算上述部分来开始组合子矩阵。即，我们只需要在重新组合时重新计算 k 的 n/2 个值。我找到了这个，和http://theory.stanford.edu/~oldham/publications/generalized/asgsp.pdf类似的方向。

【讨论】：

这不取决于它的执行顺序吗？例如，如果正确的迭代首先在 i k 和 k j 上运行，从 i 到 j 通过 k 的路径是否不存在？
由于 k 是增量，我们构建的路径越来越长。我们在哪个方向建造这些长路径并不重要。

【解决方案2】：

你有没有想过这样的路径可以存在多少？

在这样一个有 V 个顶点的图中，你有大约 V^2 个不同的对。让我们想象一个最坏的情况，你有一个完整的图（每对之间都存在边）。路径可以有 1 条边和 V-1 条边之间的任意位置，因为您不允许路径中有重复的顶点。

每对顶点之间：

只有一条路径有 1 条边；
有 2 条边的 V-2 路径：使用任何不是起点或终点的中间顶点；
有 (V-2)(V-3) 条路径有 3 条边：使用任意两个不同的中间顶点；
有 (V-2)(V-3)(V-4) 条路径有 4 条边；
有 prod{k=1 -> n-1}(V-k-1) 条具有 n 条边的路径。

鉴于此，我们知道最多有 V^2*sum{i=1 -> V-1}(prod{k=1 -> i-1}(V-k-1)) 个路径具有 V 个顶点的图。

因此路径总数为 P(V) = V^2*sum{i=1 -> V-1}(prod{k=1 -> i-1}(V-k-1)) = V ^2*sum{i=1 -> V-1}(O(V^V)) = O(V^3*V^V) = O(V!)。

现在想象一个理想的世界，您可以在恒定时间内计算每条路径。您的算法需要 O(1*V!) = O(V!) 时间来运行，这是不切实际的。

可能有一种算法可以在不枚举路径的情况下计算路径，从而获得更有效的算法。

【讨论】：

有人能告诉我如何“计算”我的总和和产品吗？
感谢您的分析。我认为这将是一些像 O(V!) 这样的淫秽运行时。我正在寻找切实可行的策略来解决如此严重的问题。
直接 html 应该可以工作：& Sigma;和 & Pi; （& 符号后没有空格）。另见List_of_XML_and_HTML_character_entity_references

【解决方案3】：

This SO page 描述了一种用于打印任意两个顶点之间的所有非循环路径的 DFS 方法——它还包括 java 代码。您可以对其进行修改以查找所有顶点对的所有此类路径，但这不是计算所有顶点之间的所有路径的最有效方法。

【讨论】：