基于伪代码的递归关系（时间复杂度）答案

【问题标题】：Recurrence Relation based off Pseudo Code (Time complexity)基于伪代码的递归关系（时间复杂度）
【发布时间】：2014-02-27 18:49:11
【问题描述】：

考虑元素唯一性问题，其中给定一个范围 i, i + 1, 。 . . , j, 数组 A 的索引，我们想要确定此范围内的元素 A[i], A[i+1], . . . , A[j], 都是唯一的，即这组数组条目中没有重复的元素。考虑以下（低效的）递归算法。

public static boolean isUnique(int[] A, int start, int end) {
   if (start >= end) return true; // the range is too small for repeats

   // check recursively if first part of array A is unique
   if (!isUnique(A,start,end-1) // there is duplicate in A[start],...,A[end-1]
       return false;

   // check recursively if second part of array A is unique
   if (!isUnique(A,start+1,end) // there is duplicate in A[start+1],...,A[end]
      return false;

   return (A[start] != A[end]; // check if first and last are different
}

令 n 表示所考虑的条目数，即，令 n = end - start + 1。对于大 n，此代码片段的渐近运行时间的上限是多少？提供简短而准确的解释。（如果你不解释，你会失去分数。）在开始你的解释之前，你可以说有多少递归调用算法将在它终止之前进行，并分析每次调用该算法的操作数。或者，您可以提供表征该算法运行时间的递归，然后求解使用迭代替换技术？

这个问题来自算法课的示例练习考试，这是我目前的答案，请有人帮忙验证我是否在正确的轨道上

答案：

递推方程：

T(n) = 1 如果 n = 1， T(n) = 2T(n-1) 如果 n > 1

在使用迭代替换解决后，我得到了

2^k * T (n-k) 我将其解决为 O(2^(n-1)) 并将其简化为 O(2^n)

【问题讨论】：

标签： algorithm complexity-theory time-complexity recurrence

【解决方案1】：

您的递归关系应该是 T(n) = 2T(n-1) + O(1) 且 T(1) = O(1)。然而这不会改变渐近性，解决方案仍然是 T(n) = O(2^n)。要看到这一点，您可以扩展递归关系以获得 T(n) = O(1) + 2(O(1) + 2(O(1) + ...)) 所以你有 T(n) = O( 1) * (1 + 2 + 4 = ... + 2^n) = O(1) * (2^(n+1) - 1) = O(2^n)。

【讨论】：