如何测量该算法的时间复杂度（Big-O）？

Question

我正在尝试测量以下算法的大 O 复杂度：

int sumSome(int[] arr){
   int sum = 0;
   for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
      for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
      }
   }
   return sum;
}

根据我的理解，

if (arr[i] > arr[j])
                sum += arr[i];

具有 O(1) 的大 O，因为它是恒定的并且什么都没有发生，尽管我很难尝试辨别它的 Big-O 符号，但听起来它的 for 循环。我以为

for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
         if (arr[i] > arr[j])
            sum += arr[i];
}

是一个线性函数 O(n)，因为 j 可能为 1，但它在 O(2n) 处以线性方式上升，即 O(n)。那么整个算法不会是O（n ^ 2）吗？显然我在 MOOC 考试中没有正确回答问题。谢谢！

Answer 1

是一个线性函数 O(n)，因为 j 可能为 1，但它在 O(2n) 处以线性方式上升，即 O(n)。所以整个算法不会是 O(n^2)。显然我在 MOOC 考试中没有正确回答问题。谢谢！

它不是呈线性上升，而是呈指数上升，因为每次迭代都将j 乘以2。

j = 1, 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2^k < n
2^k < n | apply log base 2 => k < log_2 n => k = O(log n)

所以第二个循环只执行了O(log n)次，使得整个代码序列O(n log n)。

严格来说，O(n^2) 也是正确答案，因为如果O(n log n) 是一个上限，那么O(n^2) 也是。但是，n^2 的 Big Theta 是不正确的，人们通常也使用 Big-Oh 来指代紧密的界限。

Answer 2

Big-O 的关键在于寻找循环，因此您的关键部分在这里：

for (int i=0; i<arr.length;  i++) {
   for (int j=1; j<arr.length; j = j*2) {
      if (arr[i] > arr[j])
         sum += arr[i];
   }
}

外部循环执行 N 次，因为它从 0 到 N 以 1 为增量。

内部循环每次外部迭代执行 Log N 次，因为它从 1 到 N 以指数方式执行。 （我怀疑你错过的部分是循环中的迭代器：j = j*2。这使得 J 呈指数增长，而不是线性增长，所以它会在 log-base-2 时间内达到 N。如果它是线性的+2，而不是*2)

if 内部对于 Big-O 来说无关紧要，因为它只是增加了一个系数。

所以，只需将循环的顺序相乘：N * Log N = N Log N