用边界条件求解 Maple 中的一组微分方程

Question

我正在尝试求解一组耦合微分方程，并且我想用 Maple 检查我的一些推导。但是，我没有得到正确的合成器。

我尝试在一个简单的案例中重现我的问题，如下所示：

restart;
e1:=diff(P(y),y,y,y,y)=0;
e2:=diff(Q(x,y),y,y)=0;
dsolve([e1,e2]);
cond:=P(0)=0;
dsolve({e1,cond});
dsolve({e1,e2,cond});
dsolve({e1,e2,cond},[P,Q]);

所以这些现在是解耦的，并且很容易解决。但是，出于某种我不太明白的原因，我被 Maple 卡住了。

对于以下情况（从上面可以看出），Maple给了我一个解决方案

• 在没有边界条件的情况下求解两个方程。
• 使用边界条件求解第一个方程。

现在当我将两者结合起来时，我会收到一条错误消息

错误，（在 dsolve 中）发现以下方程不依赖于 输入系统的未知数：{diff(diff(Q(x, y), y), y) = 0}

如果我明确地将 P 和 Q 定义为未知数（我将其作为提示）（参见代码的最后一行）

错误，（在 dsolve 中）收到 {Q} 的指示作为未知的 问题，找到了相关函数{Q(x, y)}，不依赖于 {y}。请明确指定未知 {Q} 的功能

备注

• 如果我仅在 e2 中将 Q 定义为 y 的函数，则 dsolve 语句有效，但这不是我想要的
• 我已经研究过 pdsolve，但到目前为止没有任何运气。即我试过pdsolve({e1,e2,cond}); 但是这没有给出错误消息，也没有输出。
• 我在网上搜索了一些我收到的错误消息，但不幸的是，这并没有让我进一步了解。
• 如果 y 将 e1 中的 P 定义为 x 和 y P(x,y) 的函数并设置 cond:=P(x,0)=0，则 dsolve 不会给出任何输出。

我要解决的问题

我要解决的实际问题如下。

d^4 P(y) / dy^4 = 0
d^2 Q(x,y) / dy^2 = 0
P(y=0) = 0

如何在 Maple 中通过一个命令解决此问题？ 我知道答案应该是

P(y) =1/6 C1 y^3 + 1/2 C2 y^2 + C1 y
Q(x,y) = F1(x) y + F2(x)

非常感谢任何提示/建议！

Answer 1

这里的问题完全是程序和数学问题。

考虑第一个错误：

错误，（在 dsolve 中）发现以下方程不依赖于输入系统的未知数：{diff(diff(Q(x, y), y), y) = 0}

这告诉你的是你有一个恒定的关系。从字面上看，你的函数Q(x,y) 的一阶导数是一些常数C，并且进一步尝试找出下一个导数炸弹，因为你已经尽可能低了。完全迂腐，the evaluation should be zero,，但这似乎不是 Maple 支持的情况。

第二条错误消息似乎在告诉您，当您将 P 和 Q 定义为未知数时，您仍然没有将真正的未知数 y 绑定到求解器。这也会导致 Maple 难度。

我认为，如果我们看到您对 Q(x,y) 的定义，我们会很快发现，至少根据 Maple 的说法，该函数实际上并不依赖于 x 的任何值。这就是造成您的部分困难的原因。

此外，我完全不清楚您为什么要调用 diff，因为获取两个函数的导数和二阶导数似乎不是您想要做的。也许这些应该替换为dsolve，您的条件指定为here？