具有两个不同参数的嵌套循环的时间复杂度

Question

如何计算这个算法的时间复杂度，O() 和 Ω()。

这个嵌套循环不同于普通的嵌套循环分析，因为 m 和 n 是独立的，使得 |A| = n ≥ |B| = 米。

我的想法是每次迭代都会运行 O(1) 时间。

对于迭代次数（第3行和第4行），应该是

m + (m - 1) + ... + 1 + (n - m) = O(m^2 + n)

因此，这个算法的时间应该是O(m^2 + n)，Ω也是。

但是，解决方案告诉我它应该是 O(mn) 和 Ω(mn)。我不知道如何得到这个答案。

Answer 1

对Can Berk Güder的一个相当简洁的解释

O 表示一个上限，但这个界限可能很紧也可能不紧。

Ω 表示下限，但这个界限可能很紧，也可能不紧。

在您的情况下，我们不考虑将存在的具体值（可能的循环），但仅从数学角度来看，它是 O(mn) 和 Ω(mn)，因为有一个 n 外循环和 m内循环。

wiki 中更直接的定义可能更能阐明您的难题。

由于算法的运行时间在相同大小的不同输入之间可能会有所不同，因此通常会考虑最坏情况时间复杂度，即给定大小的输入所需的最长时间。 不太常见，通常明确指定，是平均情况复杂度，它是给定大小的输入所花费时间的平均值（这是有道理的，因为有只有给定大小的有限数量的可能输入）。