牛顿收敛方法不起作用

Question

我正在尝试使用 Newton-Raphson 方法逼近多项式的根。我编写的代码如下所示：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main (){

double c, nq, nnq, nnnq, v, h, q, o;

o=2;
c=-0.55;
nq=-0.04625;
nnq=-0.55;
nnnq=1;

   while(fabs(c-v) > 0.000001)
   {
      nq=((2*(o-1)+1)*(c)*(nnq)-(o-1)*nnnq)/((o-1)+1);                                                     
      q=(-o*c*nq+o*nnq)/(1-(c*c));
      h=(c-(nq/q));
      printf("The better root is %.15lf\n",h);
      v=c;
      c=h;
   }

}

我知道没有必要编写变量 o、c、nq 等，因为我可以使用它们的确切值。这是一个更大问题的一部分，我需要这些变量，所以忽略它。

这个程序输出这个：

The better root is -0.578030303030303
The better root is -0.591696792857493
The better root is -0.598609887802599
The better root is -0.602171714355970
The better root is -0.604024260228500
The better root is -0.604992519745332
The better root is -0.605499890229896
The better root is -0.605766110042157
The better root is -0.605905895095070
The better root is -0.605979319651017
The better root is -0.606017894664121
The better root is -0.606038162857992
The better root is -0.606048812800124
The better root is -0.606054408979837
The better root is -0.606057349623975
The better root is -0.606058894866533
The better root is -0.606059706860161

相反，它应该收敛到点 -0.57735026918963。我知道 Newton-Raphson 肯定会收敛，所以错误应该在代码上。我还尝试使用 printf 定位问题，我认为问题出现在第二次迭代中。我认为程序无法正确计算 nq 但我不知道为什么。

Answer 1

您不仅要计算x = sqrt(1.0/3)，还希望将勒让德多项式的递归评估合并到o 的阶数，可能稍后将该方法扩展到o 大于2 的值。迭代是

P(0,c) = 1; P(1,c) = c;
(n+1)*P(n+1,c) = (2*n+1)*c*P(n,c) - n*P(n-1,c),   n=1, ... , o-1

导数可以计算为

(1-c^2)*P'(o,c) = -n*c*P(o,x) + n*P(o-1,c).

您需要将此迭代包含在牛顿循环中，在理想情况下，使用具有值和导数方法的勒让德多项式对象。我已经修改了你的结构以在 JavaScript 中工作：

var my_div = document.getElementById("my_div");
var c = -0.55;
var v = -20;
var o = 2;
while( Math.abs(v-c) > 1e-12 ) {
    p0 = 1; 
    p1 = c;
    for(n=1; n<o; n++) {
        // p0, p1, p2 stand for P(n-1,c), P(n,c), P(n+1,c)
        p2 = ((2*n+1)*c*p1 - n*p0) / (n+1)
        p0 = p1; p1 = p2;
    }
    // p0, p1 now contain p(o-1,x), p(o,x)
    p1prime = ( -o*c*p1 + o*p0) / (1-c*c);
    h = c - p1/p1prime;
    my_div.innerHTML += "<p>The better root is "+h+"</p>";
    v = c; c = h;
 }

<div id="my_div"></div>

Answer 2

这是方程的牛顿法（这是一个快速代码，不要检查变量名）：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main ()
{    
    double s = 2.0, fx = 0, dfx = 0, p = 0;

    while(fabs(s - p) > 0.000001)
    {
        fx = 0.5 * (3 * s * s - 1);
        dfx = 3 * s;
        p = s;
        s = s - (fx / dfx);
        printf("The better root is %.15lf\n", s);
    }    
    return 0;
}

它收敛到0.577350269189626。您的问题是您正在尝试同时计算 2 个递归。顺便说一句，在您的问题中，您说过要计算“多项式的根”。我没有完全明白你的意思。如果从根开始您的意思是方程的平方根，您需要更新此代码并相应地更改 fx 和 dfx。