【发布时间】：2016-06-03 14:23:27
【问题描述】：
如果您有一个任意精度的十进制库，但它没有任何基本（例如指数函数、正弦函数）或特殊（例如误差函数、对数积分）数学函数，那么最好的实现方式？
显然，由于大多数这些函数的值是不合理的，因此只有给出指定精度的答案才有意义。所以假设我想计算 erf(x) （例如）到小数点后 50 位，最好的方法是什么？
我的最佳答案是将参数映射到某个合适的范围，然后使用函数的泰勒级数来获得一个（希望）合理快速收敛的答案。我们可以使用诸如泰勒定理之类的东西来限制误差项，但通常，这涉及将阶乘与 10 的幂进行比较（例如，请参阅 Wiki 页面上“一个实变量中的泰勒定理”下的示例Taylor's Theorem），这虽然可行，但似乎冗长。
此外，虽然实现这些功能似乎可行，但在处理此类功能的组合时如何处理精度？例如，如果我们想计算 1000*exp(sqrt(2)) 到 n 位小数，那么我们应该计算中间结果以得到准确的最终答案的精度并不是很明显。
有人知道我可能从哪里开始解决这个问题吗？
【问题讨论】：
-
我认为自己实现这些繁重的东西根本没有意义。如果可能的话，您应该坚持使用经过良好测试的软件，例如 mpfr，它似乎支持很多这些功能。即使您使用的编程语言不是 C++，我也更愿意包装这个库而不是自己编写（大部分时间）。对于某些语言，还有一些包装器已经存在。
-
实现小数点后 50 位和小数点后 1000 位将是两个截然不同的事情。在第一种情况下，您可能会使用扩展浮点算术，而在第二种任意精度算术中，包括快速乘法 à la Karatsuba。 Gonnet 和 Baeza-Yates 的书对有效解决方案提供了有趣的见解。 users.dcc.uchile.cl/~rbaeza/handbook/hbook.html（该链接只提供了非常简短的摘要，不公平）。
-
这是一个很大的区域；很难以 SO 格式给出一个好的答案。我建议您查看 Zimmerman 和 Brent 的“现代计算机算术”一书以获取一些想法，尤其是第 4 章。泰勒级数本身并不够好：您需要将它们与参数缩减技术结合起来进行一些错误分析，以确定您需要什么级别的中间精度。
-
您还可以查看 Python 的
decimal模块的 Python 源代码，了解如何实现任意精度正确舍入的log、exp、sqrt等。它并不是非常复杂，但它展示了如何将参数缩减与泰勒级数和整数算术结合起来，以便在每个函数的整个域中在合理的时间内给出结果。来源可以找到here。免责声明：我编写了这些函数。 -
...如果你会说 Python，
mpmathsources 也值得一看。
标签： algorithm math numerical-methods