收敛到 2 个不同的值答案

【问题标题】：Converging to 2 different values收敛到 2 个不同的值
【发布时间】：2012-09-19 16:14:55
【问题描述】：

我有一段代码，它基本上使用数值逼近法解决了一个由 2 个非线性方程组成的系统。

代码：

l1 = 8
l2 = 10
x2 = 12.66
y2 = 11.928
maxError = 1e-30
maxIterations = 100

theta = 1: 0, 2: 0
theta1 = 0
theta2 = 0
i = 0
loop # Block 1
    i++
    theta1 = Math.acos (x2 - l2 * Math.cos theta2) / l1
    theta2 = Math.asin (y2 - l1 * Math.sin theta1) / l2
    break if Math.sqrt(Math.pow(theta[1] - theta1, 2) + Math.pow(theta[2] - theta2, 2)) <= maxError or i is maxIterations
    theta = 1: theta1, 2: theta2
console.log "Converged to first solution {theta1: #{theta1 * 180 / Math.PI}, theta2: #{theta2 * 180 / Math.PI}} in #{i} iterations."

theta = 1: 0, 2: 0
theta1 = 0
theta2 = 0
i = 0
loop # Block 2
    i++
    theta2 = Math.acos (x2 - l1 * Math.cos theta1) / l2
    theta1 = Math.asin (y2 - l2 * Math.sin theta2) / l1
    break if Math.sqrt(Math.pow(theta[1] - theta1, 2) + Math.pow(theta[2] - theta2, 2)) <= maxError or i is maxIterations
    theta = 1: theta1, 2: theta2
console.log "Converged to second solution {theta1: #{theta1 * 180 / Math.PI}, theta2: #{theta2 * 180 / Math.PI}} in #{i} iterations."

输出：

Converged to first solution {theta1: 60.004606260047474, theta2: 29.99652810779697} in 34 iterations.
Converged to second solution {theta1: 26.584939314539064, theta2: 56.593017466789554} in 35 iterations.

这两个方程是：

8cos(θ₁) + 10cos(θ₂) = 12.66
8sin(θ₁) + 10sin(θ₂) = 11.928

在两个块（Block 1 和 Block 2）中，θ₁ 和 θ₂ 最初都设置为 0。然后将一个 θ 代入其中一个方程以找到另一个 θ 的值。然后将第二个 θ 代入另一个方程以找到第一个 θ 的值。这是递归完成的，收敛于θ₁ 和θ₂。

在第一个块中，我首先将θ₂ 替换为0 并为θ₁ 找到一个值。在第二个区块中反之亦然。

现在我的问题是，当块之间的唯一区别是起始变量时，为什么我最终会得到 2 种不同的解决方案？

PS：我知道对于给定的方程组会有 2 种不同的解。我不明白的是，仅仅因为我使用了不同的起始变量，就得出了两种不同的解决方案。

PPS：我确实尝试从 θ₁ 和 θ₂ 的不同初始值开始，而不是 0。这并没有改变任何东西。

【问题讨论】：

标签： math coffeescript numerical-methods numerical-analysis

【解决方案1】：

如果以下2个表达式不相同，
而不是 acos (x2 - l2 * Math.cos theta2) / l1 ， acos ((x2 - l2 * Math.cos theta2) / l1) 看起来不错。

也适用于其他 3 个表达式。

【讨论】：

你说得对，表达式不一样：acos 不是线性的。

【解决方案2】：

您可以将您的方法分析为一种定点方法。定点方法是这样的一种方法

v_{n+1} = f(v_{n})

你的情况

v = (θ₁,θ₂)

你重新排列了你的方程式，使得

f(v) = (acos(x₂ - l₂*cos(θ₂))/l₁, acos(y₂ - l₁*cos(θ₁))/l₂)

...或多或少。当您在第二次计算中使用已更新的变量时，就好像您从另一个 v0 开始一样，其中第二个计算变量是“领先一步”另一个。在第一种情况下，您的起始位置是(0,acos(y₂ - l₁)/l₂)，而在第二种情况下，起始位置是(acos(x₂ - l₂)/l₁, 0)。尽管您在 post-post-scriptum 中说了些什么，但这是一个收敛到具有不同初始值的不同根的情况。

很难说明为什么会发生这种情况。根的吸引力盆地可能有一个奇怪的边界，如维基百科中的Newton-Raphson 页面所示。您可以尝试绘制盆地，在 (θ₁,θ₂) 域中选择许多初始起点，并根据它们会聚的位置绘制不同颜色的像素。

【讨论】：