求解 R 中的非线性方程组

Question

假设我有以下方程组：

a * b = 5
sqrt(a * b^2) = 10

如何在 R 中求解 a 和 b 的这些方程？

我猜这个问题可以说是一个优化问题，具有以下功能...？

fn <- function(a, b) {

    rate <- a * b
    shape <- sqrt(a * b^2)

    return(c(rate, shape) )

}

Answer 1

在评论中，发帖者特别询问了如何使用solve 和optim，因此我们展示了如何解决这个问题：(1) 手动解决，(2) 使用solve，(3) 使用optim 和(4 ) 定点迭代。

1) 手动首先请注意，如果我们根据第一个等式编写 a = 5/b 并将其代入第二个等式，我们将得到 sqrt(5/b * b^2) = sqrt(5 * b) = 10，因此 b = 20 和 a = 0.25。

2) 求解 关于solve 的使用，这些方程可以通过取两边的对数转换为线性形式：

log(a) + log(b) = log(5)
0.5 * (loga + 2 * log(b)) = log(10)

可以表示为：

m <- matrix(c(1, .5, 1, 1), 2)
exp(solve(m, log(c(5, 10))))
## [1]  0.25 20.00

3) optim 使用optim，我们可以在fn 来自问题的地方写出这个。 fn2 是通过减去方程的 RHS 并使用 crossprod 来形成平方和。

fn2 <- function(x) crossprod( fn(x[1], x[2]) - c(5, 10))
optim(c(1, 1), fn2)

给予：

$par
[1]  0.2500805 19.9958117

$value
[1] 5.51508e-07

$counts
function gradient 
      97       NA 

$convergence
[1] 0

$message
NULL

4) 定点 为此，将方程改写为定点形式，即 c(a, b) = f(c(a, b)) 的形式，然后进行迭代。一般来说，有几种方法可以做到这一点，并不是所有的方法都会收敛，但在这种情况下，这似乎是可行的。我们对a 和b 使用起始值1，并将第一个方程的两边除以b，得到第一个定点形式的方程，我们将第二个方程的两边除以sqrt(a)，得到得到不动点形式的第二个方程：

a <- b <- 1  # starting values
for(i in 1:100) {
  a = 5 / b
  b = 10 / sqrt(a)
}

data.frame(a, b)
##      a  b
## 1 0.25 20

Answer 2

使用这个库。

library("nleqslv")

您需要定义要求解的多元函数。

fn <- function(x) {

  rate <- x[1] * x[2] - 5
  shape <- sqrt(x[1] * x[2]^2) - 10

  return(c(rate, shape))

}

那么你就可以走了。

nleqslv(c(1,5), fn)

始终查看详细结果。数值计算可能很棘手。在这种情况下，我得到了这个：

Warning message:
In sqrt(x[1] * x[2]^2) : NaNs produced

这只是意味着该程序搜索了一个包含x[1] < 0 的区域，然后大概一头扎到了飞机的右侧。