R^2 中非线性方程组的解

Question

我正在尝试找到以下系统的解决方案，其中 f 和 g 是 R^2 -> R^2 函数：

f(x1,x2) = (y1,y2)
g(y1,y2) = (x1,x2)

我尝试使用 scipy.optimize.fsolve 解决它，如下所示：

def eqm(vars):
    x1,x2,y1,y2 = vars
    eq1 = f([x1, x2])[0] - y1
    eq2 = f([x1, x2])[1] - y2
    eq3 = g([y1, y2])[0] - x1
    eq4 = g([y1, y2])[1] - x2
    return [eq1, eq2, eq3, eq4]

fsolve(eqm, x0 = [1,0.5,1,0.5])

虽然它正在返回一个输出，但它似乎不是一个正确的输出，因为它似乎不满足这两个条件，并且似乎与指定的 x0 变化很大。还收到警告： “根据过去十次迭代的改进来衡量，迭代没有取得良好的进展。”我确实知道存在一个独特的解决方案，这是我通过代数获得的。

不确定发生了什么，以及是否有更简单的解决方法，尤其是仅使用两个方程而不是分成 4 个方程。类似：

def equations(vars):
    X,Y = vars
    eq1 = f(X)-Y
    eq2 = g(Y)-X
    return [eq1, eq2]

fsolve(equations, x0 =[[1,0.5],[1,0.5]])

对其他模块的建议，例如也欢迎同情！

Answer 1

首先，我建议使用 numpy 数组，因为操作这些数组比列表更简单。

我稍微重写了你的代码：

import scipy.optimize as opt

def f(x):
  return x
def g(x):
  return x

def func(vars):
  input = np.array(vars)
  eq1 = f(input[:2]) - input[2:]
  eq2 = g(input[2:]) - input[:2]
  return np.concatenate([eq1, eq2])

root = opt.fsolve(func, [1, 1, 0., 1.2])

print(root)
print(func(root)) # should be close to zeros

您所拥有的应该可以正常工作，所以我认为您使用的方程式有问题。如果您提供这些，我可以尝试看看可能有什么问题。

Answer 2

这似乎更像是一个数值数学问题，而不是 Python 编码问题。您的函数在解决方案周围可能有“丑陋”的行为，可能是强烈的非线性或包含奇点。如果没有看到这些功能，我们将无法提供进一步的帮助。您可能会尝试的一件事是解决系统问题

g(f(x)) - x = 0

并尽可能在解析上简化 g(f(x))。然后解方程后计算y = f(x)。