具有自适应律的系统的 ODE 求解器

Question

我有一个未知的非线性系统，我想使用另一个具有一些可调整参数的系统（例如，神经网络）对其进行建模。因此，我想在不知道其动态的情况下修复未知系统的在线学习结构，我只能通过输入-输出与它进行交互。我的问题是我无法使用 ode 求解器使其在 MATLAB 中工作。假设我们有这个真实的系统（我的实际系统比较复杂，但我会举一个简单的例子以便理解）：

function dx = realsystem(t, x)
u = 2;
dx = -3*x+6*u;
end

我们解方程如下：

[t,x_real] = ode15s(@(t,x)realsystem(t,x), [0 1], 0)

我们假设这是一个未知系统，我们不知道系数 3 和 6，因此我们采用具有 2 个自适应定律的自适应系统：

dx(t) = -p1(t)*x(t) + p2(t)*u(t)

dp1(t) = -e(t)*x(t)

dp2(t) = e(t)*u(t)

对于 e(t)，误差 e(t) = x(t) - x_real(t)。

问题是我找不到将每个 t 的实际值提供给 ode 求解器以便进行在线学习的方法。

我试过这样的东西，但没有用：

function dx = adaptivesystem(t, x, x_real)
dx = zeros(3,1);
e = x_real - x;
u = 2;
dx(1) = -x(2)*x(1)+x(3)*u;
dx(2) = -e*x(1); %dx(2) = dp1(t)
dx(3) = e*u; %dx(3) = dp2(t)
end

Answer 1

您应该意识到，您的问题本身是不适定的。给定任何通过采样和平滑/插值获得的轨迹 x(t)，您可以随意选择 p1(t) 并设置

p2(t) = ( x'(t) - p1(t)*x(t) ) / u.

所以你必须制定限制。一个明显的问题是函数 p1 和 p2 应该对黑盒系统的所有轨迹都有效。你有不同的轨迹可用吗？

另一个变体是要求 p1 和 p2 是常数。实际上，在这种情况下，如果您有等间距的样本可用，首先为数据找到一个好的差分方程会更容易。使用时间 t[n]=t0+n*dt 的样本 x[n] 形成一个矩阵 X，其中包含行

[ -u, x[n], x[n+1], ... ,x[n+k] ] 对于 n=0, ... , N-k

并对 X 应用 QR 分解或 SVD 以确定右手核向量。 QR 可能无法显示可用的秩不足，因此在 R = USV^T，S 对角线的顶部正方形部分使用 SVD，按常规排序，U，V 正方形和正交，并使用 V 的最后一行，带有系数

[b, a[0], ..., a[k] ],

对应最小特征值，形成差分方程

a[0]*x[n]+a[1]*x[n-1]+...+a[k]*x[n-k]=b*u.

如果 R 的有效秩分别。 S不是(k-1)，则将k降为有效秩加一，重新开始。

如果最后找到k=1，那么你可以用它做一个微分方程。将差分方程改写为

a[0]*(x[n]-x[n-1])/dt = -(a[0]+a[1])/dt * x[n-1] + b/dt *你

并读出微分方程

x'(t) = -(a[0]+a[1])/(a[0]*dt) * x(t) + b/(a[0]*dt) * u

如果系数变得非常大，人们可能会拒绝这个等式。