如何从 3D 平面和已知原点计算新的基础（变换矩阵）？答案

【问题标题】：How do I compute a new basis (transformation matrix) from a 3D plane and known origin?如何从 3D 平面和已知原点计算新的基础（变换矩阵）？
【发布时间】：2012-02-07 18:21:57
【问题描述】：

给定一个 3D 平面和其上的任意点，我想考虑新基的原点(0,0,0)，可以：(A) 根据该信息定义基？并且 (B) 创建一个转换矩阵，让我可以在世界空间和新基础之间进行转换？

我可以假设变换是仿射的。

非常感谢！

【问题讨论】：

标签： 3d geometry plane coordinate-transformation

【解决方案1】：

简短的回答是肯定的，但是由于您只有一个平面，因此新基础的方向将是任意的。

假设您有一个位于平面 P 上的点 k，并且您希望点 k 作为您的原点。您有 P = (N, d) 其中 N 是归一化平面法线，d 是从原点到平面的距离。

在此平面上确定具有任意方向的正交基定义右 R、上 U 和正常 N

的 3 个向量

我们已经有了N，这不过是飞机的法线

U = (0,1,0)
// If U is pointing in almost the same direction as N, change it
if (U.N > 0.7071) U = (0, 0, 1);
R = normalise (U x N)
U = normalise (N x R) // U was not orthonormal

现在定义一个 3x3 变换矩阵M，其中矩阵的 3 行分别为 R、U 和 N。

      R
M = ( U )
      N

现在假设您想将点 p 转换为平面上的点 p'。

p' = M ( p - k )

如果你想用一个矩阵来做这一切，你可以将 M 和平移向量 -k 组合成一个 4x4 齐次矩阵。备注：

上面的 . 是矢量点积
上面的 x 是向量叉积

HTH

【讨论】：