将 P=2^(logN) 重写为 log2(P) = log2(N) 的解释是什么？

Question

我正在阅读《Cracking the Coding Interview》的 Big-O 章节，我无法理解建议的对数操作之一。

本书的第 50 页试图表明 O(2<sup>log N</sup>) 等同于 O(N)。

本书以Let P = 2<sup>log N</sup>开头，然后宣称：“根据log₂的定义，我们可以写成log₂P = log2N"

这种说法是我的理解崩溃的地方。我不明白您如何将log<sub>2</sub>(2<sup>log N</sup>) 减少到log<sub>2</sub>(N)。如果你看一下这两个函数的图表，它们显然是不同的：

这是“证明”N = 2<sup>log N</sup> 的一步——这似乎也是一个错误的陈述。如果再次绘制它们，N 是线性函数，而2<sup>log N</sup> 是次线性函数。

任何对初学者友好的解释说明这是如何有意义的？谢谢！

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编辑以显示 log N 在这种情况下表示 log-base-2(N)：

在本书的这个例子中，log N 表示平衡二叉搜索树的近似深度。仅计算树的前几层就清楚地表明我们正在使用 log-base-2：

哪个日志函数给了我们答案“鉴于 节点，深度是多少？”显然答案是 log-base-2。 节点深度 log2（节点） log10（节点） 1 1 0 0 3 2 1.58 0.48 7 3 2.81 0.85 15 4 3.91 1.18 31 5 4.95 1.49 63 6 5.98 1.80

@Kaiwen Chen 的回答很到位。我们在这里是 CS 世界，假设的日志基数是 2。这本书增加了这种混乱，因为示例的一部分引用了明确的 log<sub>2</sub>，而描述树深度的 log N 总是写成假设基数为 2。

Answer 1

这是因为对数函数是指数函数的倒数，即它们相互“撤消”。您可以将对数函数视为如下：“为了得到另一个数，我必须将一个数提高到什么功率？当你考虑它时，假设相同的基数，听起来很很像指数函数。例如，

逻辑上等价于：，其中 日志函数的基数是 2。

因此，使用此知识将对数函数作为指数函数的指数会导致取消。它以某种方式“撤消”指数。反之亦然，也会产生同样的结果。 （即指数函数的对数，同底）

至于你的问题：为什么O(2^logN) 等价于O(N)？

这是因为，如上所述，指数函数正在提高相同底数的对数函数，这会导致抵消，只留下 N。因此，结果为 O(N)

至于为什么你的图表看起来不像@Kaiwen Chen 很好地解释了这种差异，涉及基数的差异。

希望对您有所帮助！

Answer 2

在 CS 中，很多 log() 函数都假设为以 2 为底，所以 2^(logx) = x。您的绘图可视化假设以 10 为底。

这是软件工程学生处理的常见问题。所有数学课程以 e 为基础，所有 CS 课程以 2 为基础，所有工程课程以 10 为基础。