设计最优算法以找到“a”和“b”的值

Question

假设给定一个合数 (n>3)，可以写成：n = a*b，其中 a 和 b 是任意整数。

现在，我们的任务是计算 a 和 b 的值，以使函数 f(a,b) = |a-b| 最小化。 .

我已经实现了 方法，如下所示：

int n;
cin >> n;      //  Take it from the user

/* Now, find the value of the a and b */
int a = 1;
int b = n;
int temp_a;
int temp_b;

for(temp_a=1; temp_a<=sqrt(n); temp_a++) {
    if(n % temp_a == 0) {
        temp_b = n / temp_a;

        if((temp_b - temp_a) < (b - a)) {
            b = temp_b;
            a = temp_a;
        }
    }
}

print a and b

但希望将其减少到 或更好，如果可能。

Answer 1

您想找到 N 的最大除数不大于 sqrt(N)。最简单的方法是遍历所有可能的除数并检查它们。在最坏的情况下需要 O(sqrt(N)) 时间。

不幸的是，在最坏的情况下，没有办法在 O(log N) 时间内解决这个问题。事实上，对于任何 p，即使在 O((log N)^p) 时间内也不可能做到这一点。很容易证明，如果可能，那么您将能够在其大小（以字节为单位）的多项式时间内找到任意数字的prime factorization。现在没有人可以做到，并且有一个广泛使用的RSA cryptosystem，它强烈依赖于没有人可以如此快速地分解数字这一事实。这也是大家都害怕quantum computers的原因之一=）

但是，有些算法渐进地比 O(sqrt(N)) 更快。此外，还有一些用于分解的更快的启发式算法。我强烈建议您阅读wikipedia article 关于此事。

稍微提高复杂度的一种方法是预先计算所有素数，直到 sqrt(N)。然后，如果您尝试仅将 N 除以它们，您将能够找到 N 的素因数分解。了解素数分解后，您可以通过递归搜索有效地迭代所有可能的除数。找到分解所花费的时间与检查素数的时间一样多，即 O(sqrt(N) / log(N))。迭代所有除数所花费的时间与这些除数的数量成正比，即asymptotically less than any polynomial of N。

Answer 2

我花了很多时间来寻找这个问题的最佳解决方案，但失败了。然后我尝试测试@psyco 的方法是更好还是@Nyavro 的方法更好。就我个人而言，我认为从sqrt(n) to 1 开始倒计时一定更好，但是为了检查@psyco 的论点，我在python 程序中实现了这两种方法，并绘制了一个图表来比较两者可以用来找到解决方案的迭代次数。该图适用于 4 到 10000 之间的所有合数。下面是我的 Python 实现：

import matplotlib.pyplot as plt
import math
X = 10001
n1 = [0]*X
n2 = []
for i in range(2, int(math.sqrt(X))+1):
    if n1[i] == 0:
        for j in range(i*i, X, i):
            n1[j] = 1

for i in range(4, X):
    if n1[i] == 1:
        n2.append(i)

#print n2
count = []
count2 = []
for n in n2:
    a = 1
    b = n
    c = 0
    flag = 0
    for ta in range(int(math.sqrt(n)), 0, -1):
        c += 1
        if n % ta == 0:
            tb = n / ta
            flag = 1
            if tb-ta <= b-a:
                a = ta
                b = tb
                if flag == 1:
                    break
    count.append(c)
    a = 1
    b = n
    c = 0
    for ta in range(1, int(math.sqrt(n))+1):
        c += 1
        if n % ta == 0:
            tb = n / ta
            if tb-ta <= b-a:
                a = ta
                b = tb

    count2.append(c)

plt.plot(n2, count, 'o')
plt.plot(n2, count2, 'o')
plt.show()

这是输出图：

上面的绿色边框是@psyco 的代码，蓝色边框是@Nyavro 的方法。尽管在许多情况下@Nyavro 的方法更好。

Answer 3

考虑不是从 1 迭代到 sqrt(n)，而是从 sqrt(n) 向下迭代到 1。首先找到的除数给出了答案，您不需要进一步进行