SUBSET-SUM，解决方案数量的上限答案

【问题标题】：SUBSET-SUM, upper bound on number of solutionsSUBSET-SUM，解决方案数量的上限
【发布时间】：2010-01-03 04:59:04
【问题描述】：

您可能知道，SUBSET-SUM 问题被定义为确定一组整数的子集是否与指定的整数相加。（subset-sum还有另一种定义，即一组整数总和为零，但我们现在使用这个定义）

例如，((1,2,4,5),6) 是 true，因为 (2,4) 和 6。我们说(2,4) 是"solution"

此外，((1,5,10),7) 是 false，因为参数中没有任何内容与 7 相加

我的问题是，给定SUBSET-SUM 的一组参数数字，可能的解决方案的数量是否存在多项式上限。在第一个示例中，有 (2,4) 和 (1,5)。

我们知道，由于SUBSET-SUM 是 NP-complete，因此在 polynomail 时间内决定可能是不可能的。但是我的问题与决策时间无关，我严格询问解决方案列表的大小。

显然，参数数字的幂集的大小可以是解决方案列表大小的上限，但这具有指数增长。我的直觉是应该有一个多项式界限，但我无法证明这一点。

nb我知道这听起来像是一个家庭作业问题，但请相信我，它不是。我正在尝试自学 CS 理论的某些方面，这就是我的想法。

【问题讨论】：

考虑((2 2 2 2 2 2 2 2 2 2) 10)。在这里，有 5 个 2 的 252 种组合，您可以选择得到 10。如果您计算具有相同数字但不同索引的答案相同，那么在这种情况下只有一种解决方案。您会将以上内容算作 252 个解决方案还是仅算 1 个？
1，我应该提到我对独特的解决方案感兴趣
卡普减少是我曾经用来解决这个问题的方法，仍然安排它欢迎迈克和所有人带来它
@Joey 我认为您的数字列表也不是一个集合，它必须具有唯一的元素，尽管我认为子集总和可能仍然是一个“困难”（np-complete）问题，即使列表我们正在获取包含重复项的子集；只是想我应该提出那个细微的区别

【解决方案1】：

没有；取数字：

(1, 2, 1+2, 4, 8, 4+8, 16, 32, 16+32, ..., 2²ⁿ, 2^{2n+1, 2²ⁿ+2²ⁿ⁺¹)}

并询问如何形成总和 1 + 2 + 4 + ... + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺¹。（例如：n = 3 取集合 (1,2,3,4,8,12,16,32,48) 并询问总和为 63 的子集。）

您可以使用 1 和 2 或使用 1+2 形成 1+2。

您可以使用 4 和 8 或使用 4+8 来形成 4+8。

....

您可以使用 2²ⁿ 和 2²ⁿ⁺¹ 形成 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺¹或 2²ⁿ+2²ⁿ⁺¹.

选项是独立的，因此至少有 3ⁿ=3^m/3，其中 m 是您的集合的大小。我敢打赌这可以大大加强，但这证明没有多项式界限。

【讨论】：

【解决方案2】：

Sperner's Theorem 提供了一个很好的（尽管是非多项式的）上限，至少在集合中的数字严格大于零的情况下（您的问题似乎就是这种情况）。

具有给定总和的所有子集的族形成 Sperner 族，它是子集的集合，其中该族中的任何子集本身都不是该族中任何其他子集的子集。这是使用元素严格大于零的假设的地方。 Sperner 定理指出，此类 Sperner 族的最大大小由二项式系数n Choose floor(n/2) 给出。

如果你放弃n 数字不同的假设，很容易看出这个上限无法改进（只需取所有数字 = 1 并让目标总和为 floor(n/2)）。我不知道在数字不同的假设下是否可以改进。

【讨论】：