如何在不使用 fpga 的除法的情况下找到模乘法倒数？答案

【问题标题】：How do I find modular multiplicative inverse of number without using division for fpga?如何在不使用 fpga 的除法的情况下找到模乘法倒数？
【发布时间】：2017-01-11 18:55:28
【问题描述】：

这个问题的标准答案是“使用扩展欧几里得算法”，但是它使用除法和乘法运算，这对于在 FPGA 上实现非常大的数字来说是很痛苦的。我想在 RSA 密钥生成中使用它。

【问题讨论】：

你确定有一种不那么痛苦的方法吗？生成 RSA 密钥预计是一项昂贵的操作。
你也可以看看蒙哥马利模乘法。
我想，我不能使用它，因为模数必须是奇数和。
RSA 模数总是奇数。您可以计算逆 mod phi(n)/4，并使用一些简单的技巧来获得您想要的逆。

标签： algorithm cryptography rsa fpga

【解决方案1】：

我推荐binary euclidean algorithm

它用算术移位、比较和减法代替除法

Knuth 给出了一个扩展的二进制 GCD，类似于扩展的欧几里得算法，并提供了指向其他版本的指针。

我找到了二进制扩展欧几里得算法here的Python实现：

def strip_powers_of_two(c, p, q, gamma, delta):
    c = c / 2
    if (p % 2 == 0) and (q % 2 == 0):
        p, q = p//2, q//2
    else:
        p, q = (p + delta)//2, (q - gamma)//2
    return c, p, q

def ext_bin_gcd(a,b):
    u, v, s, t, r = 1, 0, 0, 1, 0
    while (a % 2 == 0) and (b % 2 == 0):
        a, b, r = a//2, b//2, r+1
    alpha, beta = a, b
    while (a % 2 == 0):
        a, u, v = strip_powers_of_two(a, u, v, alpha, beta)
    while a != b:
        if (b % 2 == 0):
            b, s, t = strip_powers_of_two(b, s, t, alpha, beta)
        elif b < a:
            a, b, u, v, s, t = b, a, s, t, u, v
        else:
            b, s, t = b - a, s - u, t - v
    return (2 ** r) * a, s, t

【讨论】：

【解决方案2】：

给定n，令Φ(n) 为小于n 且与它互质的整数个数。

从https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem，如果m 与n 互质，那么m^(Φ(n)-1) 是m 的乘法逆。这可以用O(log(n)) 乘法计算。

【讨论】：

此解决方案存在一个问题。它需要计算 m^(phi(n)-1) 模 MOD，因此它涉及到求余数并使用除法。
用例的好答案——通常只适用于可以预先计算 Φ(n) 的常数模数，但由于这是用于 RSA 密钥生成，因此可以很容易地计算出 Φ(n) n 的因数，已知。
@kraskevich 我认为这不是我要寻找的 Φ(n)。在生成私钥时，必须找到 d ≡ e^(−1) (mod φ(n))，所以我的 φ(n) 实际上是 e^((φ(φ(n))-1) mod φ(n ). 另外，由于 φ(n) 等于 (p-1)(q-1) 并且它们都是素数，所以我不能使用我的 Montgomery 快速求幂核心，因为它仅在模数为奇数时才有效。