如何修复模幂运算的实现？（解决了）答案

【问题标题】：How can I fix my implementation of modulo exponentiation? (Solved)如何修复模幂运算的实现？（解决了）
【发布时间】：2021-03-28 05:54:05
【问题描述】：

所以我一直在尝试实现高效的模幂运算。这是我尝试过的

def mypow(x, y, z):
    return x**(y % log(z, x))

但是，结果有点奇怪，我的测试用例：

z = 100
x = 2
for y in range(100):
    print(mypow(x, y, z), pow(x, y, mod=z))

结果：

1.0 1
2.0 2
4.0 4
8.0 8
16.0 16
32.0 32
64.0 64
1.2799999999999996 28
2.559999999999999 56
5.119999999999998 12
10.239999999999997 24
20.479999999999993 48
40.95999999999999 96
81.91999999999997 92
1.6383999999999987 84

这个程序显然有缺陷，但正确的解决方案似乎就在几个数字之后。例如，虽然 1.2799999999999996 != 28, 27.9999... ~= 28。抱歉我的英语不好。

我尝试了几个不同的 x、y 和 z，这似乎是一个相当一致的模式。虽然对该程序有缺陷感到失望。这种模式很有趣，我想知道这可能是什么原因。

【问题讨论】：

你从哪里得到模幂运算这样的想法？ return x**(y % log(z, x)) 没有数学意义。
好吧，也许吧。但是有什么解释为什么我们会在测试用例中看到这种模式？
既然这是一个相当一致的模式，我拒绝相信这仅仅是巧合。
“为什么我们会看到这种模式......？”你的意思是什么模式？这似乎是无效代数和自然浮点表示的直接结果？
您看到的模式确实有解释，但解释它是一个数学问题，而不是编程问题。如果你想解释这个模式，你应该把它改成一个数学问题，然后在 math.stackexchange.com 上提问。

标签： python math floating-point modulo logarithm

【解决方案1】：

问题中的公式，

x ** (y % log(z, x))

可以改写

x ** (y - k*log(z, x))

其中k是y除以log(z, x))的整数结果。

这可以进一步改写为

(x**y) / (x**(k*log(z, x)) = (x**y) / (x**ln(z, x))**k

这很简单

x**y / z**k

之所以出现该模式，是因为z = 100：x**y % 100是x**y的最后两位数字组成的数字，而这最后两位数字也出现在x**y除以100**k的末尾, 是 10 的幂。

（例如，123456 % 100 = 56 和 123456 / 100**2 = 12.3456）

因此，如果z 不是 10 的幂，则根本没有规律可观察。

【讨论】：

感谢您的解释！现在我觉得有点傻。
好吧，不要。如果你在这里学到了一些东西，那就是收获......
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我们还可以将k 描述为将y - k*log(z, x) 放入半开区间[0, log(z, x)) 所需的整数，或者等效地，将x ** (y - k*log(z, x)) 放入半开区间所需的整数-开区间[1, z)，这就是为什么所有结果都在 1 到 100 之间。