Java BigInteger modInverse 和 modPow答案

【问题标题】：Java BigInteger modInverse and modPowJava BigInteger modInverse 和 modPow
【发布时间】：2016-12-14 08:23:49
【问题描述】：

我正在尝试了解 Java 的 BigInteger 类的 modPow 和 modInverse 的行为，因为它们不能像我预期的那样工作。也许我遗漏了一些简单的东西，所以这里有一段非常简单的代码：

BigInteger a = BigInteger.valueOf(2);
BigInteger b = BigInteger.valueOf(5);

BigInteger n1 = new BigInteger(32, 100, new SecureRandom());
System.out.println("n = " + n1);

System.out.println("a^b = " + a.modPow(b, n1) + " ;; (a^b)^(b^-1) = " + a.modPow(b, n1).modPow(b.modInverse(n1), n1));

我得到的输出是：

n = 2664021049    (This is a random prime, can change each run)
a^b = 32 ;; (a^b)^(b^-1) = 4

现在，我希望最后一行的4 是2，因为它是(a^b)^(1/b) = a^(b*(1/b)) = a

这也应该在模域中工作吗？

我做错了什么？

【问题讨论】：

(a^b)^(1/b) = a^(b*(1/b)) - 这不适用于模逆。
那么有没有另一种方法可以给出(a^b) 和b 我找到a？

标签： java biginteger modulo

【解决方案1】：

简答：反转 b mod p-1，而不是 mod p。（如果b不是可逆模p-1，则问题无法解决。）

虽然如果x ≡ y (mod p)，然后x^z ≡ y^z (mod p)，我们不能得出结论z^x ≡ z^y (mod p)。例如，根据费马小定理，

x^p ≡ x (mod p)

即使p ≡ 0 (mod p) 和x^0 = 1。

然而，费马小定理给了我们一个解决方案。对于整数 x 和 y 以及素数模数 p，如果我们可以找到 y 的乘法逆 z mod p-1，那么

(x^y)^z = x^(yz)
        = x^(k(p-1) + 1) for some k
        = (x^(p-1))^k * x

如果x ≡ 0 (mod p)，那么(x^(p-1))^k * x ≡ x (mod p)，因为两边都等于0。

如果x !≡ 0 (mod p)，那么我们可以从x^p ≡ x (mod p)派生x^(p-1) ≡ 1 (mod p)，我们就有(x^(p-1))^k * x ≡ 1^k * x ≡ x (mod p)。

因此，(x^y)^z ≡ x (mod p)。

另一方面，如果y 不是可逆模p-1，那么我们无法从x^y 恢复x，因为有多个可能的x 值。例如，对于x = 2, y = 3, p = 7，我们有x^y ≡ 1 (mod p)，但x 可能是1。

【讨论】：

【解决方案2】：

我猜困惑来自于，那个

b.modInverse(n1) == 532804210

因为(5 * 532804210) mod 2664021049 == 1

之后：

a.modPow(b, n1) == 32

=> 32 ^ b.modInverse(n1) mod 2664021049

=> 32 ^ 532804210 模 2664021049 == 4

【讨论】：

【解决方案3】：

参考这里了解 BigInteger 类的 modPow() 和 modInverse() 的行为。

modPow：

BigInteger numOne = new BigInteger("5");
BigInteger numTwo = new BigInteger("20");
BigInteger exponent = new BigInteger("3");
BigInteger MP = numOne.modPow(exponent, numTwo);
System.out.println(numOne + " ^ " + exponent + " mod " + numTwo + " = " + MP);

modInverse：

BigInteger numOne = new BigInteger("7");
BigInteger numTwo = new BigInteger("20");
BigInteger MI = numOne.modInverse(numTwo);
System.out.println(numOne + " ^-1 mod " + numTwo + " = " + MI);

【讨论】：