C：负数和余数背后的数学

Question

这似乎是在处理 Remainder/Mod 时被问到的第一件事，我有点碰壁了。我正在教自己用一本教科书和一小段 C 代码来编程。

看到我真的没有教练说，“不，不。它实际上是这样工作的”，我想我会在这里尝试一下。不过，我还没有找到数学部分的结论性答案。

所以...我的印象是这种情况非常罕见，但我仍然想知道在闪亮的编译下发生了什么。另外，这本教科书希望我根据 C89 标准提供使用负余数时可能出现的所有值。是否有人可以检查一下这个数学是否正确？

1) 9%4
9 - (2) * 4 = 1     //this is a value based on x - (x/y) * y
(2) * 4 + (1) = 9     //this is a check based on (x/y) * y + (x%y) = x

2) -9%4
9 - (2) * 4 = 1; 9 - (3) * 4 = -3   //these are the possible values
(2) * 4 + (1) = 9; (3) * 4 + (-3) = 9    //these are the checks

3) 9%-4
Same values as #2?? 

我尝试在表达式中使用负数进行计算，并得出了 17 和 -33 等荒谬的东西。 #3 也是 1 和 -3 吗？？

4) -9%-4
Same as #1??

在代数除法中，负号“取消”。他们在这里做同样的事情，还是发生了其他事情？

我认为最让我困惑的是负面因素。我在学校（5-6 年前）学习代数的方式是“依附”于他们的数字。在编程中，由于它们是一元运算符，不是这样吗？示例：在 #2 上填写 x 的值时，x = 9 而不是 x = -9。

我真诚地感谢任何帮助。

Answer 1

这里你需要关于余数的数学定义。

给定两个整数m,d，我们说r是m除法的余数 > 和 d 如果 r 满足两个条件：

• 存在另一个整数 k 使得 m == k * d + r 和
• 0 <= r < d.

对于正数，在 C 中，我们有 m % d == r 和 m / d == k，只需遵循上面的定义。

根据定义，可以得到 3 % 2 == 1 和 3 / 2 == 1。
其他例子：

4 / 3 == 1 和 5 / 3 == 1，尽管 5.0/3.0 == 1.6666（其中 将四舍五入到 2.0）。

4 % 3 == 1 和 5 % 3 == 2。

你也可以相信公式r = m - k * d，它在C中写成：

m % d == m - (m / d) * d

但是，在标准 C 中，整数除法遵循以下规则：round to 0。
因此，对于负操作数，C 提供了与数学结果不同的结果。
我们会：

(-4) / 3 == -1, (-4) % 3 == -1（在 C 中），但在简单的数学中：(-4) / 3 = -2, (-4) % 3 = 2。

在简单的数学中，余数总是非负的，并且小于abs(d)。
在标准 C 中，余数总是有第一个操作数的符号。

+------------------------+ |米 | d | / | % | +-----+-----+-----+------+ | 4 | 3 | 1 | 1 | +-----+-----+-----+------+ | -4 | 3 | -1 | -1 | +-----+-----+-----+------+ | 4 | -3 | -1 | 1 | +-----+-----+-----+------+ | -4 | -3 | 1 | -1 | +------------------------+

备注：此描述（在否定情况下）仅适用于标准 C99/C11。你必须小心你的编译器版本，并做一些测试。

Answer 2

就像 Barmar 的链接答案一样，模数在数学意义上意味着数字是环的同一类（我的代数理论有点生疏，所以很抱歉这些术语可能有点松散使用:)）。

所以模数 5 意味着您有一个大小为 5 的环。即 0、1、2、3、4 当您将 1 加到 4 时，您又回到了零。所以 -9,-4,1,6,11,16 都是相同的模 5，因为它们都是等价的。这实际上对于各种代数定理非常重要，但对于普通程序员来说几乎没用。

基本上没有指定标准，因此为负数返回的模数必须是那些等效的数字类别之一。这不是剩余物。如果你想要基本的整数除法，在这种情况下你最好的选择是在做模运算符时对绝对值进行运算。如果您正在使用更高级的技术（如公钥加密），您可能需要多复习一下您的数学知识。

现在我想说在这种情况下仍然使用正整数，并享受有趣的编程有趣的东西。