计算大 n 的快速算法！模 2³²答案

【问题标题】：Fast algorithm to calculate large n! mod 2³²计算大 n 的快速算法！模 2³²
【发布时间】：2013-03-05 17:38:06
【问题描述】：

我想计算 N 的准确值！模组 2³²。 N 最大为 2³¹

任何语言都可以，但我希望能详细解释算法。时间限制

【问题讨论】：

这个问题有实际应用吗？数字（2^31）！有点大得可笑。请查看stackoverflow.com/questions/1384160/… 以了解更多关于此的讨论。
一台（标准台式机）计算机甚至不可能在一秒钟内写下这么大的数字。
@Andrew：大约 40 亿，真的没有那么巨大..
@BlueRaja-DannyPflughoeft 我说的是 (2^32)！而不是 2^32。前者包含超过十亿位数字。
@Andrew：在正常情况下计算n! mod p时（即当p为素数时），每次乘法后你总是mod；那么你处理的数字永远不会大于p。有关更多信息，请参阅我的评论 here。

【解决方案1】：

在python中：

if n > 33:
  return 0
else
  return reduce(lambda x, y: x*y, range(1, n+1)) % 2**32

理由：

我们知道 34！能被 2³² 整除，因为在序列中：

1 * 2 * 3 * 4 * ... * 34

有：

17 multiples of 2
 8 multiples of 4
 4 multiples of 8
 2 multiples of 16
 1 multiple  of 32
--
32 multiplications by 2

它是每个较大阶乘的一个因数，所以所有较大的都是 0 mod 2³²

对于较小的 N 值，如果您没有可用的 bignum 算法，您可以进行单独的乘法 mod 2³²，和/或您可以在阶乘中预先考虑 2 的幂，这很容易计算（见上文）。

【讨论】：

【解决方案2】：

正常计算阶乘（乘以数字 1,2,3,...），在每次乘法后执行模运算。这将为您提供 N 的小值的结果。

对于较大的 N 值，执行相同操作。很快，您的中间结果将是0，然后您可以立即停止循环并返回0。您停止的点将相对较快：对于N == 64，结果已经是0，因为1..64 的乘积包含32 个偶数，因此可以被2^32 整除。 N 的实际最小值为 0 将小于 64。

【讨论】：

【解决方案3】：

一般而言，您可以使用大多数编程语言中可用的整数类型（int、long）来实现算法以 2 的小幂为模，而无需使用 bignum 或模约简。对于模 2³²，您将使用 32 位 int。 "Integer overflow" takes care of the modular arithmetic.

在这种情况下，由于只有 34 个不同的结果，因此查找表可能比计算阶乘要快，假设阶乘的使用频率足够高，以至于表被加载到 CPU 缓存中。执行时间将以微秒为单位。

【讨论】：

【解决方案4】：

当两个任意长度的数字相乘时，低位总是精确的，因为它不依赖于高位。基本上 a×b mod m = [(a mod m)×(b mod m)] mod em> m 这样做N！ mod m 做就行了

1×2×...×N mod m = (...(((1×2 mod m)×3 mod m)×4 mod m)...)×N mod m

Modulo 2ⁿ 是一种特殊情况，因为使用AND 操作很容易获得模数。模 2³² 更加特殊，因为 C 和大多数类 C 语言中的所有无符号运算都被简化为 32 位无符号类型的模 2³²

因此，您可以将数字乘以两倍宽的类型，然后将 AND 与 2³² - 1 相乘以获得模数

uint64_t p = 1;
for (uint32_t i = 1; i <= n; i++)
    p = p*i & 0xFFFFFFFFU;
return p;

【讨论】：

【解决方案5】：

计算模数是一种非常快速的运算，尤其是 2 的幂的模数。相比之下，乘法的成本非常高。

最快的算法会分解质数中的阶乘因子（由于数字小于 33，因此速度非常快）。并通过将它们全部相乘、在每个乘法之间取模并从大数开始来获得结果。

例如：计算 10！ mod 2³²：使用de Polignac公式，得到10的质因数！这给了你：

10！ = 7 * 5 * 5 * 3 * 3 * 3 * 3 * 2 ...

这会比基本算法更快，因为计算 (29!mod 2³²) X 30 比乘以 5、3 和 2 并在每次之间取模要困难得多。

【讨论】：

这实际上会慢很多。首先，在进行因式分解时需要做很多额外的工作，然后是更多的乘法。我不知道你为什么认为乘以 5、3 和 2，每次取模，比乘以 30 快。
再一次，要分解的数字非常小，所以分解很容易。但是要乘的数字很大，很难。很明显，如果你可以减少中间结果的大小，你会更快。尝试计算 67 * 4 mod 100。最好的方法是：67 * 2 = 134, 34 * 2 = 68。这样做我避免了将 134 乘以 2。
乘法不是“运算”，复杂性理论试图教它。是的，这个算法比第一个算法做了更多的乘法运算，但是每个乘法运算的复杂度要小得多。
@double_squeeze：实际上，正如我在回答中提到的那样，您可以完全忽略 2 的因数。然而，对于n < 34，这几乎不值得：我可以在我并不特别花哨的笔记本电脑上在 32 毫秒内计算整个范围（包括 python 启动）。
@double_squeeze：如果您手动操作，您会想要使用en.wikipedia.org/wiki/De_Polignac%27s_formula，而不是尝试一次将所有这些数字分解，无论多么小，这都会严重低效他们是。