从随机位生成随机数

Question

所以我有一个函数可以给我随机位 rand(0,1) 我想把它推广到 rand(a,b) 给我一个 a 到 b 范围内的随机数。

我的想法是只计算 b - a 中的位数，然后将它们附加在一起。我认为这会起作用，但它不会是统一的。我觉得它会支持更大的数字，而不是更小的数字（更接近 a 的数字）。不是真的要求一个直截了当的答案，只是一些帮助会很好。

编辑： 这是我目前的想法，只是不确定制服部分

    pseudo code:
    function rand_range(a, b):
        n = b - a
        sum = a
        for i in range(n):
            sum += rand(0,1)

        return sum

Answer 1

是的，它不会是统一的。

考虑 3 位的简单情况：

0+0+0  0
0+0+1  1
0+1+0  1
0+1+1  2
1+0+0  1
1+0+1  2
1+1+0  2
1+1+1  3

很明显，1 和 2 比 0 或 3 更容易出现。

当您增加位数时，这会变得更加不均匀 - 0 并且最大值永远不会出现超过一次，中间的那些出现最多。

---

对于随机分布，我能想到的最好办法就是丢弃一些生成的数字。

将b-a 舍入到最接近的 2 减 1 次方，然后单独生成每个位，如果结果大于 b-a，请重试。

所以，如果b-a 为 5，则向上取整为 7，并生成所涉及的 3 位以使最大数量为 7：

000  0
001  1
010  2
011  3
100  4
101  5
110  6
111  7

现在，如果是 6 或 7，把它们扔掉再试一次。

这可以通过使用字符串并连接 0 或 1 并在末尾转换为数字来完成，或者在每一步乘以 2（将所有位向左移动一个位置）和添加 0 或 1。

最后，您仍会将结果添加到a。

Answer 2

对于均匀分布，您需要拒绝抽样：

假设您要生成 4、5、6（含）之间的数字，那么 2 位就足够了。映射00 -> 4, 01 -> 5, 10 -> 6, 11 -> reject

pseudo code:
function rand_range(a, b):
    n = ceil(log2(b - a))
    m = b-a

    while(true)
        sum = a
        bits = []
        for i in range(n):
            bits.append(rand(0,1))
        sum += ToBase10(bits)
        if sum <= b:
            break

    return sum

Answer 3

好吧，不仅结果不是随机的，而且您可能无法在 (a,b) 之间生成一个值，因为rand(0,1) 可能总是生成 0，因此产生的数字超出了您的范围（如果a>0)。

问题出现了，因为假设一个范围 (0,5)，0 将只有 1 个表示为 00000，而 1 将有 5 个：10000,01000,00100,00010,00001。意识到这一点，直接的解决方案应该是 bijective 映射，因此最简单的解决方案是将您的 0 和 1 视为数字的位，因为任何数字在基数 2 中都有唯一的表示。

因此伪代码：

const MAX_BITS = 9;
const MAX_VAL = 1023; 
fun rand_range(a,b){
    sum = 0;
    for i<MAX_BITS
        sum += pow(2,i)*rand(1,0)
    // rescale
    return (b-a) * sum/MAX_VAL + a

}

对于MAX_BITS 和MAX_VAL，可以选择将输入到rand_range() 的数据类型的限制，这样您就可以保证每个输入都将被正确地重新调整。

Answer 4

认为以下是更好的方法：-

1. find log2(b-a) (number of bits to represent b-a)
2. generate log2(b-a) bits at random and construct decimal number from it.
3. if number is greater than (b-a) reject it and repeat 2.
4. else evaluate a + rand(b-a).

时间复杂度：-如果随机数生成器是真正随机的，那么您将需要两次迭代才能获得 b-a 范围内的随机数，因此 T(a,b) = log(b-a)

这里是java实现：-

public class RNG {

    public static int rand(int a,int b) {
        int bits = 0;
        int diff = b-a;
        Random r = new Random();
        while(diff>0) {
            bits++;
            diff = diff/2;
        }
        while(true) {
            int acc = 0;
            for(int i=0;i<bits;i++) {
                acc = 2*acc +  r.nextInt(2);
            }
            if(acc<=b-a) {
                return(a+acc);
            }

        }

    }


    public static void main(String[] args) {

        int a = 150;
        int b = 300;
        int freq[] = new int[b+1];
        for(int i=0;i<1000;i++) {
          int k = rand(a,b);
          freq[k]++;

        }
        System.out.println("freq:");
        for(int j=a;j<=b;j++) {
            System.out.println(j+" : "+freq[j]);
        }
    }

}

Answer 5

在 Python 中，您可以继承 random.Random class 以获得包括 randint(a, b) 在内的完整接口。

import random

class Random(random.Random):
    def random(self):
        """Get the next random number in the range [0.0, 1.0)."""
        return self.getrandbits(53) * 2**-53
    def getrandbits(self, k):
        """getrandbits(k) -> x.  Generates an int with k random bits."""
        return sum(rand(0, 1) << r for r in range(k))

    def seed(self, *args, **kwargs): # unused methods
        return None
    def getstate(self, *args, **kwargs):
        raise NotImplementedError
    def setstate(self, *args, **kwargs):
        raise NotImplementedError

x = rand(a,b)可以表示为r = Random(); x = r.randint(a, b)

优势在于，如果您正确定义了random()、getrandbits() 方法，那么其余代码已经过测试并且可以正常工作。 _randbelow() method 展示了如何使用这些原语返回 [0,n) 范围内的随机 int，该范围可以 be easily extended to define randint(a, b)。