用模避免求和、乘法溢出答案

【问题标题】：Avoiding sum, multiplication overflow with modulo用模避免求和、乘法溢出
【发布时间】：2020-07-29 14:35:30
【问题描述】：

我尝试解决一些简单的算法任务，但遇到了模运算问题。

我需要计算这种操作： (100003 - 200003*x + 300007*x*x*x) % 1000000

当然，300007*x*x*x 和 200003*x 都可以轻松溢出 1000000，所以我需要对所有部分“制作”模数。

我找到了这样的东西：Sum and multiplication modulo 并试图“在每一步之后都做一个 mod P”。像这样：

res = 100003
res = (100003 - 200003*x) % 1000000) % 1000000
...

正确吗？因为我没有得到正确的结果。

【问题讨论】：

你能展示你的实际代码，输入会产生错误的结果吗？
它不能在 python 中溢出，所以你正在使用的平台很重要。但是，是的，您所做的应该可以工作，除非即使是单个乘法也会导致溢出。
res,x 是什么数据类型（位，有符号）？ x 是什么值？ google modadd,modsub,modmul 你很可能在200003*x 期间溢出，所以你需要一个propper modmul，它需要双倍的位宽来获得子结果。为了避免这种情况，您可以使用 Karatsuba 或 Naive O(n^2) 乘法...如果 x 真的很大，您可以改用 200003*(x%1000000) 但如果您使用 32 位，它可能会在没有 modmul 的情况下轻松溢出跨度>

【解决方案1】：

要计算(100003 - 200003*x + 300007*x*x*x) % 1000000 我会这样做：

y = x % 1000000
res = (100003 - (200003 * y) % 1000000 + (((300007 * y) % 1000000) * y) % 1000000) * y) % 1000000
if (x > 0 && res
if (x 0) res -= 1000000

公式的编写方式我们知道结果必须与 x 具有相同的符号。这可能是您出错的地方，您省略了第 3 步和第 4 步。尽管如前所述，使用 32 位它仍然会溢出。如果您需要正模，则可以省略第 4 步，如果 res 为负，则只需添加 1000000。

【讨论】：